Question

May3

逆関数の質問です
11を解いていたのですが、答えがしっくりこないです
結局は赤線で囲んだ答えになれば良いんじゃないですか？

26
数と一致するための条件を求めよ。
a,bは定数で, ab≠1とする。関数 y= bx+1
基本 例題 11 逆関数がもとの関数と一致する条件
00000
x+a
①の逆関数が,もとの関
(0) S+
[奈良]
基本10
討
指針 2つのxの関数 f(x), g(x)が一致する (等しい)とは
[1] 定義域が一致する
[2] 定義域のすべてのxの値に対して
f(x)=g(x)
が成り立つことである。この問題では,f-'(x)=f(x) が定義域で恒等式となるため
とに着目した解法。
bx+1
x+a
の必要十分条件を求める。
bx+1_b(x+a)+1-ab_1-ab
+6
x+a
x+a
x+a
解答
したがって、 ① の値域は
①からy(x+α)=bx+1
y+b
(大))
f(x)=
別解定義域が一致するこ
とする。
ゆえにx(y-b)=-ay+1
y=6であるから x=
-ay+1
y-b
-ax+1
y=-x-b
(x=6)
②
よって、①の逆関数は
①と②が一致するための条件は,
bx+1 -ax+1
x+α
...
x-b
③の分母を払って
xについて整理すると
=
③がxの恒等式となることである。
(bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+a)
(a+b){x2+(a-b)x-1}=0
これがxの恒等式であるから
f(x) の値は y=6である
から逆関数f(x)の定
義域は
x=6
(s)
f(x)=f(x) であるとき
f(x)の定義域 xキーαが
x=bに一致するから
-a=b (必要条件)
このとき
-ax+1
x+a
f(x)=
の逆関数
ROS
は f(x) に一致する (+
条件)。
a+b=0 (すなわちb=-α)
このとき,①と②の定義域はともに xキーαとなり一致この確認を忘れずに
する。
(2)gol
「1対1の関数」という表現について
関数 y=f(x) において,異なるxの値に対し、異なるyの値が対応しているとき
[すなわち xキx2 ならば f(x)=f(x2)のとき],関数f()は1対1
f(x) が1対1の関数であるとき
なお

し
y =
bx+1
x+a
y(x+a) = bx+1
xy+ay = bx+1
xy-6x= -a7+1
(4-6x=-92+1
x = -a7+1
y-b
x (x+a) (x-b)
bx+1
-4x+1
x+a
x-b
71
xとyを入れ替えて
y
-ax+1
x-b
(bx+1)(x-6)=(x+1)(-a)+1)
bx²-6²x+x-6=-ax²+x-ax+a
b=-a
b²+1=1-92
2
a²-1=1-92
20=2
の31
a=11
↓
✓ bx² - (b² - 11x-6=-ax² + (1-0)*x+a
a=
a = 1
→
b=-1
a=-1b=1

逆関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

xの係数を比較すると
-(b²-1) = 1-a²
です
b=-aなのでbを消すと
左辺=-(a²-1) = 1-a²=右辺です
aは±1には特定されません

May3

回答ありがとうございます
お礼言い遅れてしまってごめんなさい