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基本 例題 157 第n次導関数を求める (1)
nを自然数とする。
(1) y=sin2xのとき, y(m)=2"sin 2x+ 2
(2) y=xの第n次導関数を求めよ。
解答
(1) ym=2 "sin (2x+m/ ① とする。
桐原書店
重要 158, p.271 参考事項、
指針y (n) は, yの第n次導関数のことである。 そして, 自然数nについての問題であるから、
自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める｡
(2) では,n=1,2,3の場合を調べてy(m) を推測し, 数学的帰納法で証明する。
納法による証明の要領 (数学B)
とき成り立つことを示す。
とき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。
8 00000
150 (3,205 + Del
na であることを証明せよ。
(k)=2k+1 cos2x+
p.265 基本事項
π
[1] n=1のときy=2cos2x=2sin (2x+/-/) であるから,⑩は成り立つ。
[2]
① が成り立つと仮定すると y =
2 sin (2x+笠)
=kのとき,
******
y)=2*
nk+1のときを考えると,②の両辺をxで微分して
d
*cos(2x + ₂)
dx-
2
ゆえに
(y(k+1)
21sin (2x++)=2'*' sin{2x+(k+1)x}
よって,n=k+1のときも ① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ①は成り立つ。
(2) n=1,2,3のとき,順に
y=x=1, y=(x2)=(2x)'=21,y'=(x°)"=3(x2)"=3・2・1
したがって, y (m)=n!
① と推測できる。
[1] n=1のときy=1! であるから, ①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
②
