礎問
59 微分可能性
関数f(x) を次のように定める。
log.x
(x≥1) AC I-
ania
I
f(x)=
x2+ax+b (x <1)
このとき、関数f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め
よ. ただし, lim
log (1+h)
h-0
精講
h
-=1 は用いてよい.
f(x) がx=αで微分可能とは、f'(α) が存在することを意味しま
すから,ここでは f'(1) が存在することを示します.
定義によると lim
h→0
f(1h)-f(1)
nial h
-=f'(1) ですが,1+hと1の大
小,すなわち, ん>0 とん<0のときでf(1+h) の式が異なるので,ん→+0,
ん→0 の2つの場合を考え、
f(1+h)-f(1)
f(1+h)-f(1)
lim
= lim
52 左側極限,
ん→+0
h
0114
h
または白田
右側極限
が成りたてば
lim
f(1h)-f(1)
h
が存在する
h→0
ことになり、目標達成です。 これだけでα, bの値は求
められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利
使用してαとの式を1つ用意しておくと, ラクに a, b
の値を求められます。
53
解答
まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ.
lim (x2+ax+b)=0
x→1-0
よって, 1+α+6=0 ...... ①
x→1
このとき
f(1+h)-f(1)
lim
= lim
1 log(1+h)
ん→+0
h
ん→+0
h
1+h
h_o}
10g1=0
また。
①
