a1=5,b1=1,gan+1
=
で定められた2つの数列{an},{bm} の一般項を求めよ。
=4an+36n, bn+1=an+66m(n=1,2,3, ...)
思考プロセス
例題 310との違い ･･･ 係数が対称でないから,和差では等比数列化できない。
既知の問題に帰着
等比数列化を目指す。
an+1 +abn+1=βlan+αbn) を満たすα, βの組を求める。
を代入
( )an+( bn=βan+aβbn を係数比較
Action» 連立漸化式は, gn+1+αbn+1=β(an+abn) と変形せよ
= Ban
Blan+abn)
解 an+1 + @on
n+1
与えられた2つの漸化式より
・① とおくと
②
an+1+abn+1= Ban+aßbn
(左辺) = (4an+36)+α(an+66)
= (4+α)an+(3+6a)bn
よって, ② ③より②=③
(3) ---
a
A
Ban+aßbn=(4+α)an + (3+60)ón
これがすべての自然数nについて成り立つための条件は
β = 4+α, aβ =3+6a
これを解くと
α = -1, β=3 または α = 3,β = 7
(ア) α = -1, β=3のとき
① に代入すると an+1-bn+1=3(an-bn)
数列{an-bn} は初項 α1-b1=4, 公比3の等比数列で
あるから
an-bn=4.3η-1
(イ) α = 3,β=7 のとき
・④
①に代入すると an+1+3bn+1=7 (an+36)
数列{an +36m} は初項 α1+361=8,公比7の等比数列
であるから
an+36n=8.7n-1
⑤
④ ×3+ ⑤ より 4a=12.3 -1 +8.7n-1
--
係数を比較する。
-
β=4+α を αβ=3+6a
に代入すると
α (4+α) =3+6a
a²-2a-3=0
(a+1)(α-3)=0
よってα=-1,3
⑤ ④ より
46=8.7"-1-4・3n-1
したがって
an=2・7"-1+3", bn=2.7"-1-37-1
