数Ⅲの問題です🧸 正答は選択肢1になります。 グラフの形状などもイメージできません。解き方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

1.1- 0≤ x ≤ T TC の範囲で、曲線 y = sinx と曲線 y= 4. 4- 2 2. 2-7 3.3 πC 4 π T 4 x で囲まれた面積はいくらか。 5. 5- -π 4

解説の部分の右側でX>=0とあるのですがどうしてそうなるのですか

思考プロセス 例題 179 曲線の凹凸とグラフ [2]… 無理関数 次の関数の増減,極値,グラフの凹凸, 変曲点を調べ (1) y=x+√4-x (2) y = x²(x+5) <ReAction 曲線の凹凸 変曲点は,第2次導関数の符号を調べよ例題178) 段階的に考える p.319 まとめ 14 概要 ④4の手順で考える。 y'′ やy" が存在しない点がある関数の注意点 ・そのxの値を増減・凹凸の表に入れ,y'やy” の極限を考える。 -2≤x≤2 解 (1) 定義域は 4 - x2 ≧0より y'=1- . x √√4-x² y'=0とおくと x= v x = (1-√²) 4-x 2² y = + √√4-x²-x √4-x² √√2 -2<x<2のとき y"<0 「下に よって増減、凹凸は次の表のようになる。 x -2 √2 2 0 T -22√√2 ゆえに x=√2 のとき 極大値2√2 変曲点はない。 8,0 (4-x²)√4x²-x)(x) T 4 2 そのグラフをかけ YA 2√2 (√の中)≧0 0 √4-xより であり 4-x² = x² |2x²=4 x=2よりx=±√2| x≧0であるから √2 Penhal 1003 よって, 増減 GRA x J' y ゆえに,x 変曲点は ここで limy lim.y x→+0’ したが Point (L 例題 17 の和て このこ (2) 3 (8)

数３積分の問題です。 三角形の面積を求める所なんですけど右にピンクのマーカーで囲ったところに書かれた計算で長さを出したのですがなぜ違うのでしょうか。

面積の2等分 重要 例題 248 DB π 曲線 y=cosx (-{ss;)} z)とx軸で囲まれる図形をEとする。曲線上の点 2 (t, cost) を通る傾きが1の直線l で Eを分割する。 こうして得られた2つの図 〔電通大〕 形の面積が等しくなるとき, cost の値を求めよ。 解答 SREGEER. CHART 面積の等分 S=S2 かS=2Si=2S2 計算はらくに 指針 図形Eのうち直線より上の部分の面積を St. 下の部分の面積をS2 とすると,問題の条 件は Si=Sz である(解答の図参照)。 しかし、ここでは計算をらくにするために,図形E をS(=S1+S2) として, 条件 St=Sz を, 2S=S または 2S2=S と考えるとよい。 ) 直線図形Eを分割するから π <t 2 cosxdx=2f cosxdx=2 20 S=1 図形Eの面積Sは 直線の方程式は すなわち y-cost=1 (x-t) y=x-t+cost 直線lが図形Eを分割するとき､直線より上の部分の面積を S. 下の部分の面積を2 とする。 直線lとx軸の交点のx座標は, ① でy=0 とすると, x=t-cost であるから 0 π S2 2 1 1 126 = cos²t+ [sinx] = cos²/+ 基本239 chicoscoSSER 2 -cos2t+1-sint sint=-1±√2 sint=-1+√2 求める条件は 2S2=S ゆえに cos't+2-2sint=2 すなわち cos't=2sint... ② cos't=1-sin't を用いて整理すると sin't+2sint-1=0 これを解いて | sint | <1であるから このとき ②から cost>0であるから cos²t=2(-1+√2) cost=√2(-1+√2) 00 cost T S₁ 2 YA 9 1 t-cost t S₁= Si=$_500 y=cost π 2 を用いる。 A-005 A < 2S2 = S として考える。 2S=Sとするときは, cosxdx 20 4-1 << 1/2 -(t-(t-cost)}cos t 8章 38 面 2重根号ははずせない。 積

数３積分の面積の問題なんですけど（2）で ∫［−1/2.1/2］−cos xdyと表してから xとyを調整していってはいけないのですか？この問題の解説でいうとxを置いているのですがいつも問題を解く時、何で置けば良いのか判断基準がわからなくなってしまいます。

西線x=g(y)2回 TH 基本例題 240 p.372 基本事項[3] 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 ① yelogx, y=-1, y=2e, y 軸 (2) y=-cosx (0≤x≤π), y=· 1 y=- 2 指針▷ まず,曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) y=elogxをxについて解きで積分するとよい｡ 解答 (1) y=elogx から x=ee -1≦y≦le で常に x>0 よってS=Sirdy [ect] [])=e•e²-e·e-²/² ・・・・・・ x についての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (2) (1) と同じように考えても, 高校数学の範囲ではy=-cosx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 なお,(1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く 方法 でもよい。 2016-0²- (2)y=-cosx から dy=si dy=sinxdx よって S=1 いくにしてい 187 -St =1-x (そしくはしてる はん xsinxdx® ・π・ π --*cos.x]+*coxx COS X 1 1 22 YA cos xdx 2 YA πC 2e 2、 1 2 ,y軸 0 S '1 2 -ez. 2e+1 SO 3 y=-cost T 2 !e² +601 x=e π π =-g.(-2)+5}+\sinx -5 ++0-2 3 3 π 練習 240 (1) x=y2-2y-3, y=-x-1 (2) y= =1/1/14.y=1. y=1/1/ym (3) y=tanx (0≤x<7), y=√3, y=1, y del 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 重要 246 ****** π x =2e³+e² YA x=g(y) d (1) の 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) =e³-e¹-² C -Se(elogx+1)dx -[e(xlogx-x)+x] 11 (②2)の S = ²/3 + - (1/2 + 1/ ) 11 S= π. s=Sg(y)dy π 常に g(y)≥0 12 (2) の 別解 (上と同じ方法 ) - cos x+ +)dx -²x+[sinx-x Op.387 EX213 8章 38 面積

数３積分の問題です。（1）で具体的に面積のグラフを書いてイメージを掴みたいのですがどのようなグラフになるのかわからないです。

EX (1) 関数f(x) が区間 [0, 1] で連続な増加関数であって、常にf(x)≧0であるとする。 また, n ©212 を自然数とする。 このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。 (1) k=1,2, k-1 n から 0 ≤ = 2 2 ƒ ( ²² ) - S; ƒ (x) dx = — - (ƒ(1)—ƒ(0)} n k n (2) f(x)=log(1+x) に対して, (1) の結果を用いて次の極限値を求めよ。 lim (~—-108 (1 + / -)(1 + 2 ) --- 1 + 2 )}) |__ log n n n n nのとき k- ƒ (^-¹) =/(x)=√( 1 ) n k-1 k x=1のとき、f(x) は区間 [0,1]で増加関数である30 n n k k-1 n k k k-1 *₂ S (R-¹) dx = S(x) dx = √ * _ 1 √ ( 12 ) dx k-1 n n n n n 0≤- = = ≤1 n k n = { 1 + 1) yol 2 = x² k k k n n **E √(-¹)dx=√(x) dx = s( #), dx ゆえに n n n [類 高知大〕 k≤ n = 1 n=1 n n Rof y=f(x) 0 k-1 k n n 12 n x

数Ⅲ微分のグラフについて、グラフを書けだけ言われている場合には凹凸や変曲点、漸近線などを求めなくても良いですか？

数３積分の問題なんですけど、（1）の2.3行目に書かれている0との大小比較はどのように行えば良いのでしょうか？

x3 AN 334- 数学ⅡI EX ©210 a> 0に対し, f(a)=lim lax+xlogxdx とおくとき 次の問いに答えよ。 必要ならば, 1-+001 limt logt=0 ( 1 2 ......) を用いてよい。 1+0 ① f (a) を求めよ。 aが正の実数全体を動くとき, f(α) の最小値とそのときのαの値を求めよ。 3 (1) g(x)=ax+xlogx よって 0< x≤eª g(x)=x(logx+a) g(x) ≤0 x≧e-a のとき g(x)=0 また、a>0のとき,0<e "<1である。 t→+0のときを考えるから, tを十分小さくとると S₁lg(x)\dx=S¢{-g(x)}dx+Sr_a9(x)dx == g(x)dx=f(ax+xlog x) dx x² 2 = x² + logx-S²dx = x²(a+logx)-x²+C x²(2logx+2a-1)+C (C1) 4-311 よって, G(x)=x2 (210gx+2a-1) とすると e-a S₁lg(x) dx=[-G(x)] + [G(x)]. e-a =G(t)+G(1)-2G(e-a) ここで, limt2logt=0であるから lim G(t)=0 したがって t→+0 t→+0 (2) (1) から f'(a)=1/12(-2-20)+1/12--0-20+12/2 よってa=12/2log2 -2a- ƒ(a)=lim{G(t)+G(1)—2G(e¯ª)}=G(1)-2G(e¯ª)); ←f(a) a 1 =(2a-1)-2. e.(-1)= 1 e ² + 2 -- -2a -2a 4 (1+x) f'(a)=0 とするとe ゆえに, a>0 におけるf(α) の増減表は右のようになる。 したがって, f(a) は a = log2で最小となる。 最小値は12/2102)-1/12-0 og e a 0 . f'(a) f(a) : - -log 2 +log 2- 4 4 +₁ 4 2 log 2 = 1/2+1/2+11og2-1=11og2 4 4 0 極小 |←logx+a=0 とすると log x=-a よってx=e-a : + [埼玉大] ←部分積分法。 Sxlogxdx=logxdx yoll ←=G(ea) +G(t) +G(1)-G(ea) ←G(t)=logt +1-1²(2a-1) =S₁lax+xlogx|dx (広義の定積分) O ←-2a=log YA 1 2 y=-(A)*+/ log2 a

数３積分の問題です。（3）の青い波全部のところはどこから出てきたのでしょうか。

EX Ⓒ209 x-3 (1) 1₁=S²x−³ dx=S²(1− ³)dx=[x−3logx] =1-31og²2 2 nが正の整数のとき,In=(x-3)" dx とする。 ●1) L を求めよ。 ●(2) 2=x=3のとき x=3のとりうる値の範囲を求めよ。また,lim In を求めよ。 (3) In+1 を In を用いて表せ。 (4) (+1)-1/2)を求めよ。 n=1 このとき よって したがって (2) 230 231 2 151-250 +3. 153. 153 - 12/1 2≦x≦3のとき 3 ゆえに したがって lim 72400 すなわち 1 2" n (x−3)” 0≤ Inl= |S² (x-3)" dx ≤S") (x-3)^ |dx = 5.2" dx 3 1 | 2 nx” nx" n 5) 5+(1-DS+xs -=0であるから 1 n+1 == 0≦x=3121/ x-3 | * = ³ = ( ² )" x 1 x-3 n | (x-3)" |- - - | x=³ | ≤ 2 ² 11 1 n 2"n 0≤| In≤ 00 (4) (3) の結果から n=1 S (3) In+1=√₁ (n+1)x²+1 dx = 7+1 S² (1²) - (x-3)²+¹ dx n+ n+1 nx" m - 1 2"n nx n n(n+1) ( - 1² ) ² + 1₂ n=1 lim In=0 12-0 xb(z)g+xb((x)0-) -able) 2 2xb(xgolz+x0)( 553 Sa+3 (1-5+*gols)* 1 In-In+1= = n(n² + 1) (-²/² ) " n(n+1) m tot n(n+1) (-2)²-(In-In-x) よって n=1 = I₁-Im+1 n+1 Spol ここで, lim Im+1=0であるから m→∞0 n+1 (x-3)^²+₁ 2+25" (x-3)* dx 02¹ mill 110 mil 02 nxn 3 =1-3 log- ≤Solf(x)\dx ←はさみうちの原理。 [63] + [25-xl(2017 ←部分積分法。 数学ⅡI- m Σ -lim ²-₁ n(n+1) (-²) ² - Im+1 n (n+1) (-2)=lim n(n+1) [ 関西学院大 〕 =lim (1-310g-3-In+1) 2 m-∞ 3 $=1-31og2 ←a<bのとき -333 So f(x) dx| 533 ←(3) の結果を利用。 7章 EX ← (In-In+1) =(1₁-1₂)+(1₂-13) +··· ...+(Im-Im+1) (b) t=11-Im+1 2333103BARO 積分法

積分の問題なんですけど、青線引いたところがわからないです。どうやって底面の面積を求めているのでしょうか。

X3 330- 一数学ⅡII • EX 4 4) 205 Oを原点とする.xyz空間に点P(10),k=0.1.…….…. nをとる。また,z軸上の の部分に点Qを線分PQの長さが1になるようにとる。 三角錐 OP & Pk+1 Q & の体積を カー1 〔東京大〕 Vとするとき、 極限 lim Vk を求めよ。 n→∞k=0 HINT Q (00.gn) としてkを n Q(0, 0, gn) とする。 PQ=1から h≧0であるから k+1 また, Pk+1 ( n △OPkPk+1 ゆえに V=1/3/340 √ ( ^ ^ )² + (1 - ^ ^ ) ² + ax² 9k=₁ 6n AOP.P...--1-(4+1) (タ+1 ニー ・1・ で表し, Vk= 2 2 Vi-(分) (1分) n k+1.0)であるから n = 6 Jo 1 3 k k △OPP+1gk OPP+19= 2√1-( 2² ) ² - (1 - 1² ) ² 2n V n n 0 ● 2 1 1- ( 12 ) ² - -√/¹-(4)-(₁-4) -11 n n k 円を表すから,その面積を考えて 2 n -△OPP+1gkn 1 = -√/2x-2x²³ dx =1 k n-1 * lim V-lim √1-( #)²-(1-2) ² 1 6 -1 よって 6nk=0 n n→∞k=0 n→∞ -√/1-²-(1-x) dx n 1 2n k+1 n k n * + - S: √(-)-(x - ²)² x 2-14) S/(/)(x 2 2 dx ₁ 6 2 2 √2 2 √2 1 2 1/² S √ ( + ) - ( x -+ ) dx = 1 + ² + (1) Z (2) xC T 6 2 6 2 48 を用いて表す。 ZA gk k n EXここで.y=1/(1/2)-(x-2121 ) 2は中心 (12/2.0). 半径 1/2の半 20円 Pr+1 Pk xy平面上で,点Pk, 20 P+1 は直線 x+y=1 にあるから, A(0, 1,0) とすると y 2 AOPRPk+1 =△OP k+1A-AOPA n Oh X:3 S₁ √ ( 1² ) ² - (x - 2)²³ dx th 18 x

これ、先にdθ/dx ×（sinθ/1-cosθ）をしてからθで微分すると答え変わるんですが、何でですか？

基礎問 114 64 媒介変数で表された関数の微分 D 第5章 微分法 Ly=1-cos0 x=0-sinf 0で表せ. 精講 変数tを用いてx=f(t), y=g(t) の形で (x,y)が与えられ るとき,t の値が1つ決まると点 (x,y) が1つに決まるので 動かすと点(x,y) が動いて, ある曲線Cができ上がることが [x = f(t) Ly=g(t) 媒介変数表示といいます.(数学ⅡI B45 このような形で表される関数でも,t を消去して「y=(xの式)」の形に れば今までと同じように微分できますが,そうでないときにどうやって微 るのかが今回のテーマです。 まず, 記号の復習です. できます. このとき 次に, d dy ○は「○をxで微分する」という意味ですから, は「yをxで微 d.x dx る」ことを意味する記号です. (00 <2π) で表される関数について また、 d'y は「yをxで2回微分する」ことを意味する記号です. 「2」 dx² dr do いている位置が分子と分母で違うところに注意してください。 次に,微分 ときに使う公式ですが,これはポイントを参照してください. 解答 dy dx dy do dy dy dx' dr をtを媒介変数(パラメータ)とする曲線 =(0-sin0)=1-cose, cy=(1-cose)'=sin0 sino dx 1-cos de [ddy dx²dx sino 1-cos0, 【 注 1 ポイント 注2 do d sino dx de 1-cos 注2 1 1-cos 0 d sin ( dx 1-cos 0) cos0-cos2d-sin20 (1-cos)³ 演習問題 64 x=f(t), y=g(t) と表されているとき, dy dy dt g'(t) d²y dx dx 1 dy (sin 0) (1-cos)-sin 0(1-cos)' (1-cos0)² -60 商の微分 = dy dx この基礎問では, 注1 味ですが、文字が入っていないのにどうやってxで微分するのでしょう か? そこで,次の性質を利用しています. d 0=do. do (=do. do dx dx dx sing do (1-cose)² は、約束によれば, x= cos 0-1 1 (1-cos 0)³ (1-cos0)² d (dy dx f'(t)' dx² dx\dx, dt do は約束によれば, 0 をxで微分するという意味ですが, dx sino 1-cos 0 x=0-sin0 を 「8= (xの式)」の形にできるわけではありません.そこで, 「逆関数の微分」といわれる次の公式を利用しています。 l-t 2t y= 1+ t², 1+12 をxで微分するという意 do 1 として用いています。 dx dx do dy (1) 関数x=y²-2y(y> 1) について, dx (2) 大切な公式 (t=0) について 115 大切な公式 da で表せ. dy d'y dr' dre をtで表せ. 第5章 章 83) (50) ta