添付写真下部の波線を引いた箇所についてです。 その部分の積分の求め方が分からなくなってしまったのでわかる方、ご教授お願いします🙇‍♂️

432 重要 例題 262 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 媒介変数tによって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin 2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 指針 曲線の概形をみると, xの1つの値に対してyの値が2つ定まる部分がある (解答の図の 1≦x<12/2 の部分)。 これは,前ページの基本例題261 の題材のように、もの変化につれて xが常に増加(または常に減少) というわけではないためである。 →xの値の変化を調べて,xの増加･減少が変わるもの値を求め、0≦t≦もにおける♪ 解答 図から, 0≦t≦πでは常に y≥0 また, y=2sint (1-cost) であるから, y=0 とすると sint=0 または cost=1 0≦t≦rから t=0, n) 更に =-2sint+2sin2t=2sint(2cost-1) dx dt 0<t<re dx = 0 とすると, cost= 11/1/3から dt よって, xの値の増減は右上の表のようになる。 TC π 図ゆえに, osts / におけるyy, Atsにおける 3 y t= dx dt -3 sint 2 sint cost+ 基本 261 yをxとすると dx S=S²³₁₂ v₁dx-S₁² y ₁ dx = S ₁3 y de -3 =Syardto=S(2sint-sin2t)(-2sint+2sin2t)dt S = -3 =2S(2sint-sin2t) (sint-sin2t)dt =2S(2sin't-3sintsin2t+ sin²2t)dt =25.2.1-cos2t 2 3 = 25" (1²/²/2 --cos 2t-cos 4t-6: TC -dt -cos 4t-6sin't cost dt cost)dt π 3 =211231-1/23 sin2t-1/23 sin4t-2sin=3 8 1-cos 4t 2 t 0 dx dt x 1 34t)dt + t=π -3 π 3 0 y2 2 22 S : - YA x 73/2 R また -S=So TC t=0 -3 重 方 T 1/3 yi 13-2 (1) (2 指 x Sf-s. =S+S=S° =-2(sint-sin2t)

青チャのベクトルの問題です！ 例題82の⑵なんですが、直線mが球面に接する条件がD＝0となるのはどうしてですか？ fの値が二つ出てきたらダメなんですか？ 分かりやすく説明して欲しいです！🙏

直線と平面の交点、直線と球面が接する条件 演習 例題 82 (1) (2, 4, k)に平行な直 平面α: 2x+3y-z=16との交点の座標を求めよ。 (2) k>0とする。 点(-3, -1, 0) を通り, ベクトル (1,1, m が 点 (0, 2, 3) を中心とする半径3の球面に接するように、 定数kの値を 定め、 接点の座標を求めよ。 直線上の点の座標に関する問題 媒介変数表示利用 指針 指針 前ページと同様に、 て考える。 媒介変数で表した後は, それを (1) 平面の方程式 (2) 球面の方程式に代入 て, 媒介変数t の方程式の問題にもち込む。 解答 ■直線l上の点を媒介変数 (1) l の方程式は (x,y,z)=(2,4, -1)+t(3,-1, 2) から x=2+3t, y=4-t, z= -1+2t (t は実数) tを用いて表す。 これらを2x+3y-z=16 に代入して 2(2+3t)+3(4-t)−(−1+2t)=16 よって t=-1 x=2+3 (-1), y=4-(-1), (-1, 5, -3) ゆえに, 求める交点の座標は z=−1+2 (-1) (2) m の方程式は (x,y,z)=(-3,-1,0)+t(1,1k) から (1) 直線m 上の点を媒介変数 tを用いて表す。 また, 球面の方程式は x²+(y−2)²+(z−—3)²=9 ① を代入すると (−3+t)²+(−3+t)²+(kt−3)²=9 ...... よって (k2+2)t2-6(k+2)t+18=0 2 FI /直線が球面に接する条件は、 2次方程式②の判別式Dに k²+2+0 ついて D=0 ここで P={-3(k+2)^-18(k²+2) =-9k2+36k=-9k(k-4) D = 0 から k=0, 4 k>0であるから k=4 このとき ② から -3(4+2) t== =1 2次方程式 42+2 ax²+2b'x+c=0 の重解は ゆえに、接点の座標は、①から (-2, 0, 4) 26' b' x=- 2a a 練習 (1) 点 (1,1,-4) を通り, ベクトル (2, 1,3) に平行な直線ℓ と, Ⓒ82 平面α:x+y+2z=3との交点の座標を求めよ。 (20) とする。点(0,0,0)を通り, ベクトル (1,-1, k) に平行な直 が点(5 【1. 508 x=-3+t, y=-1+t, z=ht ( t は実数) 演習 (1) (2) X

数3の積分の問題です。 これはtを消去したグラフを書いた後にxの範囲が分かって、それをtに直しているんですか？ もしそうなら、どうやったらこのグラフを書けるのか教えて下さい。テストが近いのに媒介変数表示されているものが全く出来なくて泣きそうです😭

450 次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 (1)* x=1-t¹, y=t-t³ (0≤t≤1)

この問題を教えてください🙏

練習 32 平行四辺形ABCD において, AB = AD の とき, AC⊥ DB である。 このことを, ベク トルを用いて証明せよ。 A B

117の問題では範囲のことなど一切考えていないのですが119の（1）は範囲を考えているのですが、この違いってなんですか。 教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

*117 次の媒介変数表示は,どのような曲線を表すか。 (1) x=2 cos 0, y=2sin0 (2) x=3 cos 0, y=2sin0 2 (3) x= cos@' y=3tan @ (4) x=2 cos 0-1, y=2sin0+2 y=3sin0—1 (5) x=4 cos 0+1, (6) x= 1 cose -2, y=2 tan 0+3

写真の（1）（2）をよろしくお願いします。媒介変数を消去する問題です。

次の媒介変数表示された関数から, 媒介変数 0 を消去しなさい. x = cose x = sine y = tan 0 (2) (3) (y = cos(20) x = y

下線部の三角関数の公式が何なのか分かりません。教えてください。

4 いろいろな媒介変数表示 DA (x-a)²+(y−b)²=r² (r>0) x2 ② 楕円/3+1/28=1 ③ 双曲線 3 出る J² 2012/28=1 a² 62 サイクロイド (円の半径がα) 解説 ①円 中心 (α, b) が原点にくるように平行移動すると ゆえに x=rcosey=rsin0 FR6 これを, x軸方向に α, y 軸方向にだけ平行移動して x=a+rcos 0, y=b+rsin ②楕円,③ 双曲線 基本事項②の媒介変数表示x=acosl, y=bsin0 において, tant とする Də と, 三角関数の公式 cos0= 1-t² 2t sin0= 33 1+12, から,②が導かれる。 1+t2 同様にして, t≠±1 のとき tan0 2t = から,③ が導かれる。 1-2 x=a+rcos0, y = 6+rsin O 26t x=a(1-1²) y= 9 1+t2 1+t2 2bt x= a(1+t²) y=1-t² 1-t², 9 x=a(0-sin0), y=a(1-cos 0) x2+y2=r2

この問題教えてください🙏

5.2点 A(1, 1, 4), B(3, -1,6) を通る直線 AB を考える。 (1) 直線 AB を媒介変数表示の形で表せ。 (2)* 直線 AB と平面 4.z + 2y - 3z ==6 の交点を求めよ。

すみません。下線部の直線abは〜だからとありますが。 aとbの座標で式を求めたのはわかるのですが、 0=<a=<1 のときa=1 a=0の場合不適のように思えるのですが なぜこの様な式になっているのですか。

4 アステロイド- 図のようにxy平面上に点A(a,0), 点B(0, b) をとり,線分ABを YA 1 ttの比に内分する点をPとする.ただし、a≧0,b≧0,0<x<1 であり 線分ABの長さは常に1とする. b (1) 点Pの座標およびy座標をaとt で表せ. (2) 点Aが0≦a≦1の範囲で動くとき, 点Pはどのような曲線上を動くか. (3) (2)で求めた曲線上の点Pにおける接線が、 直線AB に一致するとき, aとの関係を求めよ.また, この関係を満たしながらtが0<t<1の範囲 で動くとき、 接点はどのような曲線上を動くか. 0 a x (名古屋市立大薬一中 / 後半省略) アステロイドの性質 アステロイド ( 138472323=1:媒介変数表示はx=cos30, y=sin30) は, 長さ 1の線分がx軸,y軸上に両端点がある状態で動くときに通過する領域の境界にあらわれる.例題を解 くと,(2)が楕円,(3) 後半の曲線がアステロイドになり、両者は接する (接点は (3) 前半で求めたも の傍注の図参照). 演習問題も同じ図になるが, AB の通過領域を求める計算をやってみよう. 解答量 (1) AB=1よりb=√1-² であるから, P (ta, (1-t)√1-α² ) (2) x=ta,y=(1-t) √1-² からαを消去すると, t a=², 1-a²=( より 十 + 2² y² -=1 t² (1-t)² 1-t x² 22 (3) 楕円 + =1上のP (ta, (1-t) √1-α²) における接線は, t² (1-t)2 ta (1-t)√1-a² +2x+ (1-1)² y=1 すなわち x+1-02 -y=1である. エ y 一方,直線AB は + -=1だから、 両者が一致するとき, a √1-² a √1-a² かつ : a=√t t a 1-t √1-a² a=√t のとき,P(x,y)=(tv/t, (1-t) 1-t) となるから, x=t², y=(1-t) ² 2 3 tを消して, y=(1-x 37 ) 12/27 .. x3+yz=1 1-t 04 演習題 (解答は p.42) xy平面において, 長さが1である線分ABが, A をx軸上に, B をy軸上に置いて, 動 けるところをすべて動くものとする. (1) tを0≦t≦1なる定数とする. 線分AB を (1-t) :tに内分する点Pの軌跡を求 めよ. (2) 線分AB (両端を含む) が通過する領域を(1) の結果を利用して求め,図示せよ. (3) sを0<s<1 なる定数とする. 線分AB を (1-s): s に内分する点をQとしたと ( 日本医大 ) き,線分 AQ (両端を含む) が通過する領域を求め,図示せよ. B 1-t A 01-1 楕円の接線の公式. ←第2式からは 1-4²=1-t (2) と(3) を重ねて描くと―― YA P(+², (1-t)) 1 x (2) ファクシミリの原 理を使う. (3) (1)と(2)を重ね てみよう. 35

青チャ数3の261です。増減表のところとか、何をやっているのかわかりません。全体の流れを詳しく解説お願いします。

|囲まれた部分の面積Sを求めよ。 基本 例題261 媒介変数表示の曲線と面積(1) |媒介変数tによって、 x=4cost, y=sin2t (0<ts)と表される曲線とx軸で 、媒介変数tを消去して y=F(x) の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。 3 面積を定積分で表す。 計算の際は、次の置換積分法を用いる。 1 曲線とx軸の交点のx座標(y=0 となるtの値)を求める。 431 OOO00 本 259 できない。 重要190)(重要 262 計 (x,y) 8章 その変化に伴う,xの値の変化やyの符号を調べる。 38 面 (x,一y) S-Sydx=()f()dt a=f(), b=f(B) 積 解答 のの範囲でy=0 となる tの値は 0SIS また。 ① の範囲においては, 常にy20である。 (検討 t=0, 2 xとtの対応は次の通り。 π dx =-4sint dt =x4-x2 t|| 0→ ズ=4cost から x||4→ 0 dx=-4sintdt よって また, 0StS号ではy20で 2 リ=sin2t から π T 0 あるから,曲線はx軸の上側 4 2 の部分にある。 『=2cos 2t であり, dt =ーズ4-2 dx 0 dt 面積の計算では,積分区間 上下関係がわかればよい か ら,増減表や概形をかかなく ても面積を求めることはでき る。しかし,概形を調べない ダ-0とすると π t= 4 4 |2,2 x ゆえに,右のような表が得 dt られる(>は減少,ノは増 dy 2 0 と面積が求められない問題も 0 あるので,そのときは左のよ 0 1 加を表す)。 y 0 aうにして調べる。 dtes+ y4 しても = sin2t-(-4sint)dt (*)重要例題 190 のように ー,→, 1, !を用いて表 してもよい。 『よって S= 1nial と (t=0) 1 niat-1 2,2 4 * 0 sin2tsintdt 'sin't(sint)'dt =8 =8 sin?tcos tdt /ha0oaie 8 3 とする (0StSz)とx軸および直線x=rで囲まれる部分の面積Sを x=t-sint 練習 曲線 【筑波大) (p.440 EX217 261 lソ=1-cost 求めよ。 140 EX216 」 1 K