kを実数として, xの整式 P(x) を P(x) = x+kx?+(2k+1)x+k+2 と
回次の問いの
の符号を記入しなさい
ア~ノ」にあてはまる一桁の数、または、マイナス
(9点)
<見方>
イ
する。3次方程式P(x) =0 は一つの実数解と異なる二つの虚数解 α, 3
をもつとする。
(1) どのような&の値に対してもP(- ア)=0であるから,
因数定理により
P(x) %= (x+アZ)x+(k-1/)x+k+| ウ2|| が成り立つ。
以下, Q(x) =x?+(k-_イ /
2次方程式Q(x) =0 は異なるこっの虚数解をもつので,
kのとり得る値の範囲は、
)x+k+ ウ2| が成り立つ。
)x+k+ ウ2とする。
エオ<k< カnである。
a, BはQ(x) =0 の解であるので,
解と係数の関係により,
a2+8?=k?- キ 8- ク」と表され、
α'+β°はkを用いて
α?+β?はk= ケ
で最小値 コサをとることがわかる。
また,k= ケ
のとき α'B?=[シス, α*+1β*=[セソである。
(2) k= ケのとき,
タ
土
チッi
である。
P(x) =0 の異なる二つの虚数解は
2
以下、X=a+Bi, Y=α-Biとし、X*+Y4を α, βを用いて表そう
X, Y4のそれぞれに, 二項定理を用いて整理すると
X4+Y4=| テ (a*+β)-トナ a'8? となる。
このとき, α'B?2=| シス, a*+β4=|セソであるから,
X+Y4 の値はニヌネノである。
