Question

彩莉

キの欄からよくわかりません。教えてください！

kを実数として, xの整式 P(x) を P(x) = x+kx?+(2k+1)x+k+2 と
回次の問いの
の符号を記入しなさい
ア~ノ」にあてはまる一桁の数、または、マイナス
(9点)
<見方>
イ
する。3次方程式P(x) =0 は一つの実数解と異なる二つの虚数解 α, 3
をもつとする。
(1) どのような&の値に対してもP(- ア)=0であるから,
因数定理により
P(x) %= (x+アZ)x+(k-1/)x+k+| ウ2|| が成り立つ。
以下, Q(x) =x?+(k-_イ /
2次方程式Q(x) =0 は異なるこっの虚数解をもつので,
kのとり得る値の範囲は、
)x+k+ ウ2| が成り立つ。
)x+k+ ウ2とする。
エオ<k< カnである。
a, BはQ(x) =0 の解であるので,
解と係数の関係により,
a2+8?=k?- キ 8- ク」と表され、
α'+β°はkを用いて
α?+β?はk= ケ
で最小値 コサをとることがわかる。
また,k= ケ
のとき α'B?=[シス, α*+1β*=[セソである。
(2) k= ケのとき,
タ
土
チッi
である。
P(x) =0 の異なる二つの虚数解は
2
以下、X=a+Bi, Y=α-Biとし、X*+Y4を α, βを用いて表そう
X, Y4のそれぞれに, 二項定理を用いて整理すると
X4+Y4=| テ (a*+β)-トナ a'8? となる。
このとき, α'B?2=| シス, a*+β4=|セソであるから,
X+Y4 の値はニヌネノである。

ア~|ノにあてはまる一桁の数、または、マイナス
[6次の問いの
の符号を記入しなさい
(9点)
<見方>
をを実数として, xの整式 P(x) を P(x) =Dx°+kx?+(2k+1)x+k+2と
する。3次方程式P(x) =D0 は一つの実数解と異なる二つの虚数解 a, 8
をもつとする。
(1) どのようなkの値に対しても P(- ア)30であるから,
因数定理により
P(x) =(x+ アD{x?+(k-イx+&+ ウ が成り立つ。
以下,Q(x) =x?+(カ-[ イx+k+ ウ とする。
2次方程式Q(x) 3D0 は異なる二つの虚数解をもつので,
kのとり得る値の範囲は、
エオ」<ん<カ
である。
a, BはQ(x) =0 の解であるので,
解と係数の関係により, α'+β2はんを用いて
α?+8?=k?-| キイカー クタと表され、
α'+82 はk= ケで最小値コサをとることがわかる。
また,k= ケ2のとき α'β?=[シス, α*+β*=[セソ である。
16
77
(2) k= ケ」のとき,
-|タ/土チツ
P(x) =0 の異なる二つの虚数解は
である。
2
以下、X=«+Bi, Y=a-Biとし、X*+Y4を a, βを用いて表そう
X, Y4のそれぞれに, 二項定理を用いて整理すると
X*+Y=| テ(a+8り-[ト方8° となる。
このとき, α'g?=シス, α*+8*=[セであるから,
X*+Y4の値はニヌネるである。
758
解答欄
21ー
7
Z
2
ウ
エ
オ
カ
ア
イ
ク
ケ
コ
サ
キ
2
3
6
ス
セ
ソ
チ
ツ
テ
ト
ナ
タ
2
ヌ
ネ
5
キ

数ii

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🤍

解と係数との関係

ax² + bx + c の時、α+β = - b/a 、 αβ = c/a

となります。

なので、今回の場合、α+β =-k+1 、 αβ = k+2 となるので、
これを、

(α+β)² = α²+αβ+αβ+β²=α²+β²+2αβ

に代入すると、キとケが出ます。

そして、後は二次関数として計算すれば、ケコサが出ます。

シスセソはケを当て嵌めて計算すればできます。

ちなみにα⁴+β⁴は(α²+β²)²として考えるとできますよ。

彩莉

ありがとうございます！

彩莉

質問なんですけど、ケのところはどうやって最小値を求めるんですか？あとテトナのところもどうしてこう表せるか分からないです

🤍

このグラフは、k²の係数が+なので、下に凸のグラフです。なので、範囲指定がなくても必然的に頂点の部分が最小値になります。なのでケは頂点xの値ということになります。

彩莉

ありがとうございます！