第6章 微分法
Xy平面上の点 (a, b) から曲線 y=xーx に3本の相異なる接線が引けるための条件を求め,
または 3-aであ
よって、曲線上の点 (t, ピーt)における接線の方程式は
EX
その条件を満たす点 (a, b) のある範囲を図示せよ。
『162
y=xーx から
って、曲線上の点(t, やーt)における接線の方程式は
y=3x-1
(関西大)
すなわち
この直線が点(a, b) を通るとき
yー(ーt)=(3?-1)(x-t)
y=(3t°-1)x-2
ロyーf()=f(t)(x-)
2ポ-3at+a+6=0
b=(32-1)a-2t" 0 さdt
T0
整理して
3次関数のグラフでは,接点が異なると接線も異なるから, 点 ロ本冊p.297
(4, b)から3本の相異なる接線が引けるための必要十分条件 INFOMATION 参照。
は、tの3次方程式①が異なる3つの実数解をもつことである。
よって,f(t)=2t-3at"+a+6 とすると、 f(t) は極値をもち,)
極大値と極小値の積が負となる。について
f(t)=6t(t-a)であるから, 求める条件は
極大
ソ=f()
aキ0 かつ S(0)f(a)<0さるかさ 05(x)1 二常0いメ
(a+b)(b-a°+a)<0 … 2
2でa=0 とすると が<0 となり, これを満たす実数6は存
在しない。ゆえに, 条件 αキ0 は②に含まれるから,求める
すなわち
条件は2である。3ー9=3ょ+
3輪 レ>
における「a+b>0 表は です
16-a°+a<0
la+b<0
16-d+a>0
J6>-a
コb=a-a のとき
6'=3a°-1
のから
bt
2/3
90
13
が=0 とすると
または
3
a=±
3
3
3
¥3 0
3
a=±
のとき
て常い
16<αーa
3
すなわちて、
12/3
9
bニ+23 (複号同順)
b=モ-
9
または
l6>αーaであるから、 xイ-R4)!
よって,求める範囲は図の斜線部分。
ただし,境界線を含まない。
0 (x)1
-26さ
b=q°-a の原点におけ
る接線。
