914
130
232
×
基本 例題 145 定積分と不等式の証明 (1)
00000
(1) OSSI のとき,不等式が成り立つことを示せ。
0≦x≦1
1+x4 <1 を示せ。
(1 dx
(2)不等式
%
9157
CHART & SOLUTION
[類 静岡大 ]
③ p. 230 基本事項 2
(2)これまで学んできた知識では Soxdv の計算ができない。そこで
1+x4
f(x)≧g(x) ならばff(x)dx≧g(x)dx
(1)の結果に適用する。
基本 例題
n2とする
CHART
&
定積分と不
数列の和
14
(等号は、常にf(x)=g(x)のときに成り立つ)
→
解答
(1) 0≦x≦1のとき
分子そろひかるか
(1+x2)-(1+x4)=x2(1-x2)0
定積分の
の下側の
証明でき
よって 1+x21+x40
(2) (1) から, 0≦x≦1のとき
ゆえに50のとき
x2≧0, 1-x2≧0
解答
1
1
S.
1+x2 1+x4
自然数んに
・≦1
常には
1+x2 1+tan20
ゆえに
cos'
1
ただし, 0<x<1のとき ① の等号は成り立たない。
dx
1+x2 Jo1+x4
よってSS fodx
dx
[=S14x において, x=tan0 とおくと
dx
1+x2
11
xと0の対応は右のようにとれる。
1
②
==[0]*=*
←
-S小<St
ゆえに
等号は成り立たない。
1
・にはx=atane
x²+a²
k=1, 2,
2=cos20, dx=- do
x 0 → 1
COS2
if 本間では, (1) が(2) の
π
0 0 →
4
coseg do
0 = St* do = [0] *² =
ヒントになっている (2) の
みが出題された場合は
ここで
π
4 (800 x | f(x)≤x≤g(x) #n
また
Sdx = [x]=1
1+x4
(x)dx
ゆえに
Sjøtxiá
よって
これらを②に代入すると<1
=1 を満たす f(x) g(x)
を見つける必要がある。
両辺に
PRACTICE 145º
1
(1)定積分
√√1-x2
dxの値を求めよ。
(2) nを2以上の自然数とするとき,次の不等式が成り立つことを示せ。
dx≤
PRA
不等
