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とき、
3
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4
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余り
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4
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基本例題117 余りによる整数の分類
nは整数とする。次のことを証明せよ。
(1) 共立薬大 (2) 学習院大]
(1) 2²は3の倍数である。(2n+1は5で割り切れない。
p.485 基本事項 ②
重要 119,120
指針 すべての整数は,正の整数mを用いて,次のいずれかの形で表される。
(kは整数)
mk, mk+1, mk+2, ******, mk+(m-1)
←mで割った余りが 0 1,2,... m-1
そして,この m の値は,問題に応じて決める。
(1) 「3の倍数である｣=「3で割り切れる」であるから、3で割ったときの余りを考える。
したがって, 整数全体を, 3k, 3k+1, 3k+2に分けて考える。 (0) (2)
(2)5で割った余りを考えるから, 整数全体を,5k, 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4に分
けて考える。
【CHART 整数の分類
余りで分類
mで割った余りは0,1,2,...., m-1
→ mk, mk+1, mk+2,.., mk+(m-1)
(1+x
解答
(1) すべての整数nは, 3k, 3k+1, 3k+2 (kは整数) のいず
れかの形で表される。
n¹+2n²=n²(n²+2) (534²5
[1] n=3kのとき
n²+2n²=9k² (9k²+2)
= 3.3k²(9k²+2)
[2] n=3k+1²n^+2n² = (3k+1)²(9k²+6k+1+2)
=3(3k+1)²(3k²+2k+1)
[3] n=3k+2のとき n+2n²=(3k+2)(9k²+12k+4+2)
=3(3k+2)²(3k²+4k+2)
よって、2²は3の倍数である。
Ⅱ (2) すべての整数 n は, 5k, 5k+1,5k+2,5k+3, 5k+4
(kは整数)のいずれかの形で表される。
[1] n=5k のとき
[2] n=5k+1のとき
n²+n+1=5(5k²+k)+1
n²+n+1=5(5k²+3k)+3
[3] n=5k+2のとき
n²+n+1=5(5k²+5k+1)+2
[4] n=5k+3のとき
n²+n+1=5(5k²+7k+2)+3
[5]=5+4のとき
n²+n+1=5(5k²+9k+4)+1
それぞれの場合について, n2+n+1を5で割った余りは,
13231であり, n²+n+1は5で割り切れない。
練習
② 117 (1) nーは9の倍数である。
nは整数とする。次のことを証明せよ。
3k-1,3k, 3k+1 と表し
てもよい。 この場合,
3k+1と3k-1をまとめて
3k±1 と書き
330
AM=(1+AS)(1+)
とき,余りが3になることはない。
n¹+2n²=n²(n²+2)
=(3k±1)^{(3k±1)^+2}
=(3k±1)^(9k²±6k+3)
=3(3k+1)^(3k²±2k+1)
(複号同順)
として, 3× (整数)の形にな
ることを示すこともできる。
すべて3×(整数)の形。
5k-2, 5k-1, 5k, 5k+1,
5k+2 と表してもよい。
(検討)
左の解答のように, 整数を余
りで分類する方法は,剰余類
の考えによるものである (演
習例題 123 参照)。
[(1) 京都〕
p.491 EX82
487
Auto
4章
18
整数の割り算と商および余り
)
n
し
14
