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9 はさみうちの原理
an
22+3
4
(1) 0≦x<1が成り立つことを, 数学的帰納法で示せ .
が成り立つことを示せ .
(1) により,
a=0, an+1=
l-an
(2) 1-an+1
2
(3) liman を求めよ.
n10
解けない2項間漸化式と極限
an+1=f(am) で定まる数列の極限値を求める定石として、以下の方法がある.
1°
満たす. これからαの値を予想する.
an の極限が存在して,その値がαならば,liman = a, lim an+1=αであるから,αはα=f(α) を
11-0
1118
2°与えられた漸化式 Qm+1=f(am) と α=f(a) の辺々を引くと, an+1-α=f(am)- f(α) となる
が.これから
|anti-a|≦klan-al, kは 0≦k<1である定数・
の形の不等式を導く。すると,|an-a|≦k|an-1-a|≦k2|an-2-a|≦…≦k"-1|a-a|
• 0≤la₂-al≤k"-¹|a₁-al
limkn-1|α1-α|=0であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0
¥80
(n=1, 2, ...･･･) で定義される数列{an} について
4 -≤ak+1<.
■解答量
(1) nに関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する.
n=kでの成立, つまり0≦x<1が成り立つとすると, ak+1 について,
02+3
12+3
0≦ak+1 <1
4
よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された.
an² +3
1-a₂² 2
(2) 漸化式から, 1-an+1=1-
1+ an
.(1-an)
4
4
4
1+1
<
4
1+an
4
=
(なお、要点の整理・例題 (8) から, ☆のkは定数でないと, am →αとは結論できない)
1
2'
簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式
1 - a>0であるから,
1-an+1</(1-an)
(3) 1-a>0と, ① を繰り返し用いることにより,
1
0≤1 - an</21 (1-ªn-1) < 12 (1-ªn-2) <--< -2 ²-₁ (1-₁) =
1
2n-1
1
-→0より, はさみうちの原理から lim (1−a)=0
2n-1
n→∞
9 演習題(解答は p.27 )
1
数列 an (n=1, 2, …) は, a1=0, an+1
.".
1
22-1
liman=1
(岡山県大情報工-
1110
①
..
an→α (n→∞)
0≦x<1のとき, 02≦²
a=
漸化式を用いて1-Qn+1 を
表す.
本問の場合, 求める極限値
として, 1° を使うと,
a²+3
α=1,
4
からαの値が予想できる.
..
