例題 130 z" +
1 の値
★★★
zn
(1) 複素数が2+
=
√3 を満たすとき,230 +
2.30
の値を求めよ。
Z
1
(2)複素数がz+
1 を満たすとき, w = z" +
zn
の値を求めよ。
2
ただし, nは整数とする。
思考プロセス
30
2+12/21=(2+1)と考えるのは大変。
(1) z30+
« ReAction 複素数の几乗は,極形式で表してドモアブルの定理を用いよ 例題12
具体的に考える
1
2
z+ √3より -√3+1= 0
1
解 (1) +
=
2
よって
2 =
極形式
2 =
√3より -√3z+1=0
√3 ±√(-√3)-4・1・1
3
土
2
1
2
-i
cos()+
2
π
cos(土)+isin (±)(複号同順
6
このとき,ドモアブルの定理により
2.30
-{cos(土)+isin()}
30
=cOS (±5) +isin (±5) (複号同順)
=
=-1
1
ゆえに
1
=
したがって
230 '+
1
2.30
=-1-1 = -2
(2)z+ 1
- より
2
z+z+1=0
よって
解の公式
5π=π+2.2π
(cos(-) = cost
lsin(0)=sind
-1±√3i
2 =
2
= ±
cos(1/2/3)+isin (12/31) (同順)
土
このとき,ドモアブルの定理により
1
an
w=z+ = 2"+2"
256
2次方程式の解の公式を
使用いてzの値を求める。
y
√3
32
2.
10
2
21
9
2