Question

よー

マーカーを引いたところが分かりません！
式の中に±の記号もつ数が複数ありますがどのタイミング？でプラスなのかマイナスなのかが分かりません。
また、nはなぜ3の倍数とかに場合訳されているのか分かりません。

例題 130 z" +
1 の値
★★★
zn
(1) 複素数が2+
=
√3 を満たすとき,230 +
2.30
の値を求めよ。
Z
1
(2)複素数がz+
1 を満たすとき, w = z" +
zn
の値を求めよ。
2
ただし, nは整数とする。
思考プロセス
30
2+12/21=(2+1)と考えるのは大変。
(1) z30+
« ReAction 複素数の几乗は,極形式で表してドモアブルの定理を用いよ 例題12
具体的に考える
1
2
z+ √3より -√3+1= 0
1
解 (1) +
=
2
よって
2 =
極形式
2 =
√3より -√3z+1=0
√3 ±√(-√3)-4・1・1
3
土
2
1
2
-i
cos()+
2
π
cos(土)+isin (±)(複号同順
6
このとき,ドモアブルの定理により
2.30
-{cos(土)+isin()}
30
=cOS (±5) +isin (±5) (複号同順)
=
=-1
1
ゆえに
1
=
したがって
230 '+
1
2.30
=-1-1 = -2
(2)z+ 1
- より
2
z+z+1=0
よって
解の公式
5π=π+2.2π
(cos(-) = cost
lsin(0)=sind
-1±√3i
2 =
2
= ±
cos(1/2/3)+isin (12/31) (同順)
土
このとき,ドモアブルの定理により
1
an
w=z+ = 2"+2"
256
2次方程式の解の公式を
使用いてzの値を求める。
y
√3
32
2.
10
2
21
9
2

={cos
2
COS
3
T+isin+
= +
2n
2
+cosl±
2
-n
-π+isin ±
3
cos(±27) + isin(+27) + cos(+2x) + isin(= 27)
= COS
2n
=2cOS
=
(ア)n=
3
3
2n
T±isin +COS
2n
π
3
3
π干isin
3
2n
3
22/Fisin 25 (複号同順)
3
3k (k は整数)のとき
w=2cos(2km) = 2
(イ)n=3k+1 ( は整数)のとき
w=
2
2cos2k+
cos(2kz π) =
3
(ウ) n = 3k+2(k は整数)のとき
4
3
-0.200(0.8nial+08800/1
ドモアブルの定理を用
いる。
(cos(-0) = cos
[sin(-9)=-sin
(イ)
y
-10
2
4.
2 cos
3
n = -1
31
πT
(ウ)
-1
4
w=2cos (2kx+1/31)=2c0s1/32 = -1
π
(ア)~(ウ)より,kを整数とすると
3
π
1
x
(1)
(イ)(ウ)の場合をまとめる。
n=3k±1 のときとして
={(n=3+2のときのとき
Point...z+
=kのときの " +
の値
Z
zn
1
虚数zz+=k... ①(kは実数) を満たすとする。
Z
①より
z-kz+1= 0
この2解は互いに共役な複素数z, であるから,解と係数の関係より
よって |2|2 = 1 すなわち |z|=1
ゆえに,z=cos+isin とおくと
z" =cosn0+isinn
したがって
zz=1
◆ドモアブルの定理
+
z" +
zn
= z" + (2")-1
= (cosn0+isinn0)+(cosn+isinn0)-1
=
= (cosno+isinn0)+(cosnd-isinn0 )
=2cosn
このことから,z"十
zn
はnの値にかかわらず実数となることも分かる。

Answer 1

和

1つめ
質問に答えられているかわかりませんが…

2つめ
nが1進むと、1/3周進みます
nが3つ進むともとの位置に戻って、
cosの値は同じになります

つまり3個ずつの繰り返しになります
2π/3つまり1周/3のn倍だからですね
だから、3で割った余りで場合分けします