3 nは整数とする。 次の命題を証明せよ。
nが3の倍数ならば,nは3の倍数である。
指針対偶による証明
すればよい。
もとの命題を直接証明しにくいときは,その対偶を証明
解答 対偶 「nが3の倍数でないならば,n2は3の倍数でない。」 を証明する。
自然数nは,kを整数として,3k,3k+1,3k+2のいずれかの形で表され
る。このうち、3の倍数でないものは 3k+1,3k+2
[1] n=3k+1のとき
n²=(3k+1)²
=9k²+6k+1
=3(3k²+2k)+1
よって2は3の倍数でない。
[2] n=3k+2のとき
教 p.69
n²=(3k+2)2
=9k²+12k+4
=3(3k²+4k+1)+1
よって,n²は3の倍数でない。
したがって, 対偶は真であるから,もとの命題は真である。 終
