逆数どうしの和 一→ 約分できる いE
相加平均と相乗平均の関係 木戸やゆ六菜1使えると○:△^とで寄証
正の数A, Bで,A+B (和) と AB (積) を含む不等式では,次を用いると、
Action》 正の数の和と積の比較は, (相加平均) 2 (相乗平均) を用いよ
定理の利用 ○、Aが正のとき O+△に大対い拝 OAPE
a>0, b>0 より ab>0 であるから,相加平均と相乗 相加平均と
=2 のように利用することが多い。
(2)(a+b)(b+c)(c+a)z
相加
別題 67
つのはどのようなときか。
2 16
(a+b)(b+c)(c+a)
4
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ア20 と証明してもよいが,
(左辺)-(右辺)=…= (
A+B
A>0 B>Q のとき
1
22,
とくに、
例題67 の(I
9
+10
1
a+
b
9
ロ0 (佐辺)= (a+0+)=ab+
ab
は成り立ち
係を用いるとき
が正であること
①は a=
平均の関係により
ab+あ
9
22/ab
9
= 6
ab
る。
② は b=
この2つ
よって, ab+
9
+102 16より
ab
なのです。
両辺に10を加え
0+)216
(4
9
a+
a
は間違い
9
すなわち ab = 3 のとき等号成立。
これは, ab =
③の左辺
ab
lab=
より
ab
一方,
2) a>0, b>0, c>0 であるから, 相加平均と相乗平均
の関係により
a+622ab, b+c22、bc, c+a2 2/ca
これらの辺々は正であるから,辺々掛け合わせて
(a+b)(6+c)(c+a) N 8/d6°c°
ab>0であるから
a= b,
よって,
くりき日
これは、a=b かつb=c かつ c=aすなわち
a=b=cのとき等号成立。
のとき r
ただし、A6
いう条件が重
fa=6=c0
行目の等号が
立つ。
=8|abc| = 8abc
その
検習 67 a>0, b
きた
だ+
6 や
思考のプロセス
