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総合 定数 a, b, c, p, qを整数とし,次のxとyの3つの多項式
数字!
195
P=(x+a)°-9c°(y+b)°
R=x*+(p+2q)xy+2pqy°+4x+(11p-14q)y-7
2
Q=(x+11)°+13(x+11)y+36y?
を考える。
(1) 多項式 P, Q, Rを因数分解せよ。
PとQ,QとR, RとPは、それぞれx,yの1次式を共通因数としてもっているものとす
る。このときの整数 a, b, c, p, qを求めよ。
【東北大)
→本冊 数学I例題 13,15
0 P=(x+a)°-(3c(y+b)}
={(x+a)+3c(y+6)}{(x+a)-3c(y+6)}
=(x+3cy+a+36c)(x-3cy+a-36c)
Q=((x+11)+4y}{((x+11)+9y}
=(x+4y+11)(x+9y+11)
R=x°+(y+2qy+4)x+2pqy?+(11p-14q)y-77
=x°+(カy+2qy+4)x+(py-7)(2qy+11)
=(x+py-7)(x+2qy+11)
(2) 2qは偶数であるから, QとRが共通因数をもつとき
HINT(1) Rは, xにつ
いて整理し,定数項をた
すき掛け。
そx+11=X とおくと
Q=X°+13Xy+36y?
p
-14g
X
2g
総
11p
2p9
-77
11p-14g
hod-←(1) の結果の式におい
て,QとRのyの係数
2q=4
と定数項に注目すると,
bod-|x+4y+11 が共通因数と
なる。仮に,x+9y+11
が共通因数となるなら,
2q=9 となり,qが整数
であることに反する。
また,PとQのッの係
数に注目すると、 Pのy
の係数は3の倍数である
したがって
q=2
3c は3の倍数であるから, PとQが共通因数をもつとき
かつ a+3bc=11
[1] 3c=9
または [2] -3c=9 かつ a-3bc=11
[1]の場合
このとき
PとRが共通因数をもつとき
C=3, a+96=11
P=(x+9y+11)(x-9y+a-9b)
p=-9 かつ a-96=-7 ② の から, x+4y+11が共通
a=2, b=1
C=-3, a+9b=11
P=(x-9y+a-96)(x+9y+11)
因数となることはない。
0, 2 を解いて
[2]の場合
このとき
PとRが共通因数をもつとき
の
カ=-9 かつ a-96=-7 ·
3, ④ を解いて
以上から
a=2, b=1
a=2, b=1, c=±3, p=-9, q=2
1
d=
n
