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基本
例題
173 指数方程式の解法
00000
次の方程式, 連立方程式を解け。)の最大値と最小値を求めよ左下の大
(1) 3x+2=27
32x-32-6
(2) 4-2x+2-32=0
22) (3) (328+) = 27
p.276 基本事項 2 演習 192, 193、
指数方程式では,まず 底をそろえて, a=αの形を導くのが基本。
=dの形を導いたら, 次のことを利用する。
指針
(1) 底を3にそろえる。
a>0, a≠1のとき
α ならばx=p
(2)=(22)=(2x), 2x+2=2F22 であるから, 2" = X とおくと, 与えられた方程式は
X2-22X-320 Xの2次方程式) となる。 なお, X> 0 に注意。
(3)32x=X,3=Yとおき,まずX,Yの連立方程式を解く。
CHART 指数の問題
1 基本の形へ 底をそろえるa=a
x=p
(1) 3x+2=27から
2 変数のおき換え 範囲に注意(a>0)
3x+2=33
3
よってx+2=3
解答
ゆえに
x=1
指針
の方針。
底が異なるときは底をそ
ろえることを考える。
27=33
5章
29
指数関数
(2)与式から
2*=Xとおくと
(2)2-22.2-32=0
<X>>
方程式は X2-4.X-32=0
5-(8.).
指数関数 y=α (a>0,
ゆえに
(X-8) = 0
X+4)
よって
X=-4, 8
X> 0 であるから
X=8 すなわち 28
ゆえに223
よって
x=3
(3)32X3Y とおくと
X>0, Y>0
[X-Y=-6
......
①
連立方程式は
XY-27
α≠1) の値域は, 正の数
全体である。
よって 2=X> 0
なお, おき換えないで,
(2x+4)(2^-8)=0
と進めてもよい。
32x+y=32x.3=XY
X=Y-6 として, Xを
①から
Y = X +6
*****
③
消去してもよい。
③②に代入して
X(X+6)=27
ゆえに X2+6X-27=0
よって (X-3) (X+9)=0
X>0であるから
X=-9 は不適。
X=3
これを③に代入して
Y=9 (Y>0を満たす)
X=3から
32x=3
Y = 9 から
3=32
32x=3から2x=1
したがって
x=
y=2
