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基本 例題124 2つの無限等比級数の和
次の無限級数の収束,発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。
2
2
2
2"
2
3°
p.202基本事項 3,,基本 ||2
無限級数 まず部分和 ( )内を1つの項として,部分和 S,を求める。
指針
ここで,部分和Sn は 有限 であるから,項の順序を変えて和を求めてよい。……
注意 無限 の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない(次ページ参照)
別解 無限級数 Zan, こonがともに 収束するとき,k,1を定数として
n=1
n=1
2(ka,+lb,)=kZa,+1Zb, が成り立つことを利用(p.202 基本事項3)。
n=1
n=1
n=1
解答
初項から第n項までの部分和を Sn とすると
as-{p*}号
1
222°
2
2
1
2
『 S=(2+
3
AS,は有限個の項の和なの
で、左のように順序を変え
3°
37-1
2"
21
て計算してよい。
初項 a, 公比rの等比数剤
の初項から第n頂までの
和は,rキ1のとき
a(1-r)
1
1-
3
2
lim S.-3-1--1=
8
よって
3
1-r
8
ゆえに,この無限級数は収束して, その和は
3
原園 (与式)-+)-()+(-})
2
n-1
37-1
2々
どか
n=1
2
1
n-1
)は初項2, 公比 号の無限等比級数
3
(-)は初項 - , 公比 -号の無限等比級数
1
n=1
2?
で, 公比の絶対値が1より小さいから, この無限等比級数は
ともに収束する。 ゆえに, 与えられた無限級数は収束して,
|無限等比級数 Ear"の
n=1
収束条件は
その和は(与式)=D22(+(-
12-1
a=0または |r|<1
3
(収束を確認してからこを
分ける。
n=1
1=1
2
1
8
1
1-
3
1-1-)
3
