基本例題110 媒介変数と軌跡
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放物線y=x2+ (21-10)x-At+16の頂点をPとする。 tが0以上の値をとって
変化するとき、頂点Pの軌跡を求めよ。
指針のを1つ定めると放物線が決まり。 頂点も定まる。 例えば
y=x²-10x+16, 頂点(5, -9)
y=x2-8x+12,
頂点 (4.4)
y=x²-6x+8,
頂点 (3,-1)
y=x2-4x+4,
頂点 (2,0)
y=x²-2x,
頂点 (1, -1)
10 のとき
t=1のとき
t=2のとき
1-3のとき
解答
4のとき →
このように考えていくと、右図から頂点Pの軌跡は放物線の
一部らしいことがわかる。
y=x2+(2t-10)x-4t+16
={x+(t-5)}^-(t-5)-4t+16
={x+(t-5)}^-f2+6t-9
={x+(15)-(t-3)²
よって、放物線の頂点Pの座標を(x,y) とすると
y=-(t-3)2
①から
②に代入して
......
t=5-x
頂点の座標を(x,y) とすると, x=(tの式), y=(tの式) と表される。
x=(tの式),y=(tの式) から 変数t (p.168で学習したつなぎの文字と同じ)を消去し
て,x,yの関係式を導く。
なお、10の条件に要注意。
y=-{(5-x)-3}
=-(x-2)^
また、 ≧0であるから
したがって
x≤5
よって、求める軌跡は,
5-x≥0
放物線y=-(x-2)のx≦5の部分
ya
0
#108
2
11.
3* +-3
026
-6
16
1-0
x
tを消去。
⑩ 2次式は基本形に直す
放物線y=a(x-p)^'+qの
頂点は(p,q)
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xyはtの式で表される。
tの値に制限があるから, x,
の範囲にも制限がある。
これを調べる。
3章
18 軌跡と方程式
