【5】
pを実数の定数とする. xの2次方程式
x2-(2p+|p|-|p+1|+1)x + 1/2(2p+30|p+1|-1)=0
について次の各設問に答えよ.
(1)この2次方程式は実数解をもつことを示せ.
(2)この2次方程式が異なる2つの実数解α, βをもち, かつ a2 + 2 ≦1となるような定数 p
の値の範囲を求めよ、
x-(2p+|p|-|p +1 +1)x
+1/2(2p+3|p|-|p+1|-1)=0……①
(1) p < 1 のとき, 方程式 ①を解くと
x-{2p-p-(-p-1)+1}x
+1/2{2p-3p-(-p-1)-1} = 0
x-2(p +1)x=0
x{x-2(p+1)}=0
:.x=0,2(p+ 1)
であるから, 方程式 ① は実数解をもつ.
-1≦p < 0 のとき, 方程式 ① を解くと
x²-{2p-p-p +1)+1}x
+1/2{2p-3p-(p+1)-1} = 0
p-1のとき
2 + B2 ≦1
02 + {2(p + 1)} ≦1
{2p+1)}2-1≦0
{2(p +1) +1}{2(p+1)-1}≦0
(2p+3)(2p+1) ≦ 0
. - ≤ p < -1
である.
-1 <p < 0 のとき
(√P+1)²+(-√P+1) SI
ps-12
であり,-1<p < 0 より
≦1
x=p+1(≧0)
である.
..x = √ p+1
であるから, 方程式 ① は実数解をもつ.
p≧0 のとき, 方程式を解くと
x-{2p+p-p+1) +1}x
+1/2{2p+3p-(p+1)-1} = 0
x2-2px+2p-1=0
0<p<1,1<pのとき
(p+lp-1)2 + (p-lp-1)2≦1
4p2-4p+1≦0
(2p-1)²≤0
:. p= 2
であり,これは0p<11<p を満たす.
以上より, 求める定数 pの値の範囲は
:.x=p±lp-1|
-sp<-1, -1<ps - 1/1, p = 1/
であるから, 方程式 ① は実数解をもつ.
以上より、題意は示された.
☐
である.
(2) 異なる2つの実数解をもつような, 定数の値の範囲
は (1) より
である.
p<-1, -1 < p<1,1<p
