-
![]()
C
63
基本 例題 35 an+1=pan+(nの1次式)型の漸化式
00000
a=1, an+1=3an+4nによって定められる数列{an} の一般項を求めよ。=jp
基本 34
指針 p.60 基本例題 34の漸化式an+1=pan+gで,g が定数ではなく, nの1次式となって
いる。このような場合は, nを消去するために階差数列の利用を考える。
→漸化式のnをn+1とおき, α+2についての関係式を作る。これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1-a} についての漸化式を処理する。
また,検討のように, 等比数列の形に変形する方法もある。
CHART 漸化式 an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
1
章
4漸化式数列
an+1=3an+4n
① とすると
解答
an+2=3an+1+4(n+1)
②
一人の消え
①のnn+1 を代入す
ると②になる。
② ①から an+2-an+1=300mi-an)+4
anti-an=bn とおくと bn+1=36+4 3.
これを変形すると bn+1+2=3(b+2)
また
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
よって, 数列{6+2}は初項8,公比3の等比数列で
bn+2=8.3-1 すなわち bn=8.31-2..... (*)
n≧2のとき
n-l
ana+(8-3-1-2)=1+
k=1
=4-3-1-2n-1 ..... ③
n=1のとき 4・3°-2・1-1=1
8(3-1-1)
--2(n-1)
3-1
a=1であるから,③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4.31-2n-1
差を作り, n を消去する。
{6}は{a}の階差数列。
α=3a+4からα-2
<a2=3a,+4・1=7
<n≧2のとき
an=a₁+Σbk
k=1
①初項は特別扱い
[参考] (*)を導いた後, an+1-an=8・3"-1-2 に ① を代入して α を求めてもよい。
{an-(an+β)} を等比数列とする解法
検討
an+1=3an+4n が, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)}
例題は an+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで,f(n)=un+βとして,
A の形に変形できるようにα, β
の値を定める。
練習
Aから an+1-{α(n+1)+B}=3{an (an+B)}
ゆえに an+1=3an-2an+α-2β
これと an+1=3a+4n の右辺の係数を比較して -2a=4, a-28=0
よって α=-2,β=-1
ゆえに f(n)=-2n-1
したがって an 4-3-1-2n-1
Aより, 数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから
an-(-2n-1)=4・3"-1
③ 35 a1= -2, an+1=-3a4n+3によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
