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2/11
2/19.
また,
したがって, ①より,
例題 9.2
nを正の整数として,
XX (1) 不等式
***
が成り立つ
<[√-3²&x<1.
(注) '-xdx は半径1の円の面積の 1/12 倍である
(右図参照) .
- ²(1 + cos20) 40 = 10 + sin 2015
de=
【解答】
(1) y=√x(x>0) について,y'=
fdx = [x]
が成り立つことを示せ.
1
(2) lim- (1+√2+..+√n) を求めよ.
n-0⁰ N√ n
2√x
=1.
²}{n√n << 1 + √² + ... + √n < ²?(n+1)√n+1
･･･ ( 証明終)
->0 だから, x≧0 に
おいて単調増加関数である.
したがって, k = 0, 1, 2, ... とするとき, k≦x≦k +1に
おいて,
If(k) Sfid
の不等式の準備
k+1
√k < f** ¹√x dx < √k + 1
vk+1
VR
(n+1
1+√2+...+√n <√²+¹√x dx.
(*) の左側の不等式で,k=0, 1,2,.., n として辺々を加えると,
It w sfida-
O
O
✓y=√1-x²
√ktl.
Nik
Rk+1
2.
-y=√x
→x
不等式つくる。f(k) Sof(xodx
の形に
(*) の右側の不等式で,k=0,1,2,… n-1 として遊々を加えると、
S®* √x dx < 1 + √² + + √n.
["*√xdx <1 + √² + + √5 < [√x dx
① ② から,
が成り立つ。
ここで,
であるから, ③ より,
となる.
(2) (1) の不等式から,
ここで,
[²√x dx = 3 x ³) = ²√n,
[*"**√x dx = [ {3x³]\"*"* = ²3 (n + 1)√/n +1
}_{n√ñ<1 + √2 +--+ √ñ< }{{n+1\/AFL
2
²/3 << _-_ _ _ ( 1 + √² + ... + √5) < ² 2(n+1)√√n+1
nvn
3n√n
$5a Ra
2(n+1)an+1
mvn)
lim-
11-00
であるから, はさみうちの原理により,
・積分と微分のミス、
混合がとにか
= lim ² (1 + 1/ ) √/1 + / / /
lim_{(1+√2+..+√7)=1/13.
11-400 N√ n
(別解)
(2) だけならば、 区分求積法の考え方で次のようにできる。
1 + √2 + ... + √n) = 1
lim1 (1+√2+...
n-con√n
1
)=lim-Σ.
1-00 n k=1√ n
-(√x dx
1/1.0
++
...(2)
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