(2)はなぜPを使って考えて5で割るのですか？また、Ｃを使った考え方はありますか？ 優しい方教えてください🙏🙇‍♀️よろしくお願いします💦

同じものが 2. よって, (5-1)! 4・3・2・1 2 2 異なるn個のじゅず 順列 =12(通り) (n-1)! 2 通り Focus どのように重複をとりのぞくかに着目する A, B, C, D, a, b, c と書かれた玉が1個ずつあるとき, 次の問いに答えよ. 主人 165 (1) これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらの玉から5個を取り出して円形に並べる方法は何通りあるか. (3) すべての小文字が隣り合うように円形に並べる方法は何通りあるか. (4) これらの玉にひもを通し、輪を作る方法は何通りあるか

この問題の答え、「0cmより長く、28cm以下」とあるんですが、「0cmより長く」の部分を省いて答えてもいいですか？

例題 80 2次不等式の応用 **** 長さ 80cm の針金がある.これを2つに切って,それぞれの針金を折り 曲げて正方形を2つ作る. 2つの正方形の面積の和が218cm以上となる ようにするには、針金をどのように切ればよいか。 短い方の針金の長さの 範囲を求めよ 考え方 まず何を文字でおくか考える. 例題 81 実数x, yo (1) z=x2 (2)x≧0, 徳島文理大) 考え方は (x, 針金の長さを x cm とおくと... ここでは,短い方の針金の長さの範囲を求め たいので,短い方の針金の長さを文字でおく. このとき, 右の図のように針金は正方形に折 り曲げて考えるので,文字はxではなく, 4xcm とおく。 3x+y= しかし、 x -cm 4 変数関 針金の長さを4xcm とおくと.. |解答 (1) y xcm Z 解答 短い方の針金の長さを4xcm とすると, 長い方の針金の 長さは, 80-4x=4(20-x)(cm) 04x40より 0<x<10......① 2つの正方形の1辺の長さは,それぞれ,xcm, XC- 020-x (20-x) cm だから, + 短い方の針金は Z x2+(20-x)2≧218 0(1-0)(+ 80cm の半分以下で 2x2-40x+400≧218 2x2-40x+182≧0 2つの正方形の和が x2-20x+91≧0 より, x≦7,13≦x ....2 (x-7)(x-1)04p)-=-=(S)(1) 式で表す. ①,②より, 0<x≦7 03 (S-0)(S+s ② 02 (S-)(STD よって, 0<4x≦28 だから, 短い方の針金の長さ の範囲は,0cm より長く, 28cm以下とすればよい. Focus より ① 7 10 13 218cm² 以上を不等 (2)

三角関数の問題についての質問です。青マーカーを引いたところなのですが、なぜ-4≦a≦0ではダメなのですか？軸が0、1の時も一応共有点は持つということになると思うのですが。2番目でf(0)＝0やf(1)＝0となる場合を考えているから必要ないということでしょか。

150 と 294 第4章 三角関数 Think 例題 152 三角関数を含む方程式の解の存在条件 **** OOT とする. 0 の方程式 -cos20+asin0+a=0 1 を満たす 0が存在するための定数 αの値の範囲を求めよ. ( 岩手大改) 使え方 gin0 とおくと、2倍角の公式を利用して、の2次方程式として考えることがで きる 共有点を考えるとよい . まり、その2次方程式の解の存在範囲の問題となるので、 2次関数のグラフと軸の a α Bt tのとり得る値の範囲に注意しながら, 実数解 tの存在範囲を調べればよいが, そのと ときの着眼ポイントは, 「区間の端点の符号」, 「軸と区間の位置関係」, 「判別式 ( き,上のようにいろいろな場合が考えられ, 場合分けの必要がある. 場合分けをする は2次関数のグラフの頂点のy座標)」である。 解答 t=sin0 とおくと,0≦πより, 0≤t≤1 ② cos20=1-2sin'0=12t より ①に代入して, もの値の範囲に注意 する. do-(1-2t2)+at+a=0 つまり, 2t2+ at + α-1=0 ......③3 全国でしたがって, ①を満たす 0 が存在するための条件は,区 間 ②において,tの2次方程式 ③が少なくとも1つの実数解 をもつこと,つまり,③より,f(t)=2t+atta-l とお ふとy=f(t)のグラフが区間 ②でt軸と少なくとも1つ の共有点をもつことである. m (i) f(0) f(1) が異符号のとき つまり,f(0)f(1) 0 のとき f(0)=a-1 f(1)=2+a+a-1=2a+1 したがって, (a-1)(2a+1) < 0 よって、 << if(0)=0 または f(1)=0 のとき niannie つまり,f(0)f(1)=0 のとき (a-1)(2a+1)=0 m 最終的に2次関数の 問題として捉えるこ とができるかがポイ ント 区間の端点の符号で 場合分けを考える. (注》 を参照) f(0)>0,f(1)<0 または、 f(0) < 0, f(1)>0 より f(0)f(1) <0 f(0) = 0 のとき, す 0 1 よって, a=- または a=1 でに t=0 が③の解 となるのでf(1) の符 号は関係ない. 207 0 me med

α‬が上の式でマイナス着いているのに両辺をα‬で割ってることが分からないのと、α‬で割ったとしてもマイナスが右辺に残ってKiの符号がそのままになっているのが分からないです！！教えてください！！

例題 C2.35 直線, 円の接線の方程式 同 (1) 複素数平面上の異なる2点α βを通る直線の方程式は, (a-z-(a-β)z+ap-ap=0であることを証明せよ。 **** (2) 複素数平面上において, 原点を中心として、半径の円周上の点 A(α) における接線の方程式を求めよ。 p 考え方 (1) A(a), B(β) を通る直線上の任意の点P(z)について.. 3点A, B, P が同一直線上にある wwwwww z-a 実数 1画素 a z-a z-a ⇔ B-a B-a (2) 接線上の任意の点をP(z) とすると, OA-AP または z=α より OR arg π ga = または z-α=0 0-a z-a -は純虚数または 0 A(a) P(z) a 2-a za ⇔ a a && $ 1 si 解答 (1) 複素数 α βが表す点をそれぞれ A, B とする. 1960 また, 2点A,Bを通る直線上の任意の複素数zが表 す点をPとすると, 3点 A, B, Pが同一直線上にある ための条件は, (-)-si za=k(β-α) (hは実数 α =β より 両辺を β-α で割って, B-a は実数より 018 za z-a z-a (0 B-a B-a B-a 両辺に (β-α) (B-α) を掛けて, = +8)(za)(Ba)=(za)(β-α) (Ba)z(Ba)a=(β-a)z-(β-α)a (a-Bz-(α-β)x+aβ-aβ=0 その感 (2)点Aにおける接線を l とする。 また, l 上の任意の複素数 z が表す点をPとする. l P (z) A(a) r OA⊥AP または z=α より Pは原点Oを点Aのまわりに 今だけ回転して点Aからの距 離を倍 (≧0) した点である. (a) P(z) 059+isin 9) zが実数+isinnf 1- ← z=z ブルの 画 20007 ここからすぐに, za は純虚数また a P(z) は0としてもよい.

数列の問題です。 毎年の返済額10万もなんで年利率5%で積み立てるのかよく分かりません。教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

Think 例題 B1.14 複利計算 **** 年利率 5%で100万円を借りて、ちょうど1年後から毎年10万円ずつ 返すとき、何年後に返し終わるか. ただし、1年ごとの複利で計算し, logo1.05=0.0212, log102=0.3010 と する. 考え方 元金をS円, 年利率を とすると, 元金S円の年後の金額は、 S(1+r)" II 一方, 1年後から毎年α円ずつ積み立てたときのn年後の金額は, a + α(1+r)+... + α (1+r)" -2+α(1+r)"-1 min ddd {0} ② m ①② となるときを考える.(次ページ Column 参照) 解答 100万円を年利率 5% で n 年借りると、 返済の総額は, 共 100×(1+0.05)"=100×1.05" …① また,毎年の返済額 10万円を,年利率5%で積み立てた「万円」で計算してい ときの年後の総額は, 単位は「円」ではなく、 10+10×1.05 + 10×1.05°+・ ・+10×1.05"-] 10 10(1.05"-1) =200(1.05"-1) ...... ② 1.05-1 年 利率 5% を掛けていく. 初項10,公比 1.05 の n 年後に返し終わるとすると,②① となる。 = (I-98) 等比数列の初項から より 200(1.05"-1)≧100×1.05" 1.05"≧2 両辺の常用対数をとると, logo1.05" log102 したがって,nlog10 1.05≧logio 2 | 第n項までの和 1-0-948-(1-9) log101.05" (a) d =nlogo01.05 10g 102=0.3010.10g11.05=0.0212 よ 0.0212n≧0.3010 0.3010 bar" ORE Jei n = -=14.198...... 0.0212 よって, n15 となり 15年後に返し終わる。 は自然数 {D} Re Focus 元金α 年利率 1% n 年後 複利計算でa (1+0.01xp)" 注 複利計算の上に数

なぜ4点ABCDから出来る平行四辺形はこの3つだけなんですか？？円順列的に考えて3つの並び替えで3!で6通り存在しないのは何故ですか？？

Think 例題 C2.9 複素数平面での平行四辺形の頂点 形式 (365) C2-1 **** 複素数平面上に4点A(1-2), B(z), C(iz), D(z) を定める. 四角形 ABCD が平行四辺形であるとき, 複素数 zを求めよ. 考え方 四角形ABCD が平行四辺形であることをベクトルで表すと, AB=DC であるから 複素数平面でA(α), B(β), C(y), D() のとき, β-α=y-δ である. 四角形ABCD が平行四辺形より, AB = DC, AB/DC 解答 である. よって、 z-(1-2i)=iz-ス つまり、 z=(i-1)z+(1-2i) ①の両辺の共役複素数をとると, _z= (-i-1)z+(1+2i) ここに①を代入すると, ① www D(z) C(iz) O B(z) (8O+AO)SAA(1-2i) z=(-i−1){(i−1)z+(1−2i)}+(1+2i) したがって, 0% z=2z-2+3i z=2-3i 0 th 1=2+b)+(nds) ① OAO)+(内 (別解)四角形ABCD が平行四辺形のとき,対角線 AC と BD の中点は一致するから、 A (1-2)+iz 2 た z+z32. OA 2点α, βを結ぶ線分 (S)(1) A01:1 したがって, ad よって, (1-iz+z=1-2i の中点は, a+β (1-2i)+iz=z+z 2 (p.C2-52 参照) ①の両辺の共役複素数をとると, (1+i)z+z=1+2i.......② ① ×(1+i) ② より を消去すると, z=2-3i Focus 四角形ABCD が平行四辺形A0 .00 x+Q+D AB=DC または AD=BĆ あるいは、対角線の中点が一致 z= a + bi (a,b は実数) とおくと, z=a-bi これらを,z-(1-2i)=iz-zに代入して解くこともできる。三 "はABC AD 習 例題 C2.9 の4点 A, B, C, D が平行四辺形の頂点となるような複素数zのうち, 2.9 例題 C2.9で求めた z=2-31 以外の z をすべて求めよ.

（2）の変形が分かりません。

3等式・不等式の証明 71 3/18 例題 34 絶対値を含む不等式の証明 **** 次の不等式を証明せよ. (1)|a + b|≦|a|+|6| 第1章 (2)|x|-|y|≦|x+y| 「考え方」 絶対値を含むので、このまま差をとるよりも、 例題29のように, 両辺を平方して差をとれば+d) よい. <絶対値の性質> •|A|= A≧O, B≧0 のとき,A≧B ⇔ AB m である. また, A≧A の性質を利用する. 解答 'A≧0 のとき, |A|=A A>A) \A<0 のとき, |A|> 0, A<0 より |A|>A (2)(1) 不等式を利用する. • |A|2=A² A (A≧0) -A (A<0) ・|A||B|=|AB| ・A≧0, A≧A,|A|≧-A -A=A |x|-|y|=|x+y|→|x|≧|x+y|+|y|であることから,|x|≦|x+y|+|y| を示すと (1)|a+b|≧0, |a|+|6|≧0 より 平方して比べる. (|a|+|6|)-|a+b12 121,=|a|+2|a||6|+|6|-(a+b)2 1 =a²+2|ab|+b²-(a²+2ab+b²) =2|ab|-2ab=2(|ab|-ab) LETR |a|0|6|≧0 より, &ta+b≥0 14||B|=|AB| 0=104²=4² ここで|ab|≧ab より, ab-ab≧0となる. よって、不等式 |a+b|≦|a|+|6| が成り立つ. る. (2)|x|=|x+y-y|=|(x+y)+(-y)」とすることが できる. (1)より (大立公園) Focus 注 S AIZA を利用す A=ab と考える. (x+y+(-)slatelet(1)の結果を利用 x+y+lyl sex したがって, |x|≦|x+y|+|y| よって、不等式x-yxtyが成り立つ。 よって、 a=x+y, b=-y y|を左辺へ移項 立つことを示 |A|>|B| の証明 |A|-| B|=AB'> 0 を示す 例題 34 (1)は(面倒であるが) 次の場合に分けて証明することもできる。 (i) a≥0, b≥0, a+b≥0, (ii) a<0, b<0, a+b<0, (iii) a≥0, b<0, a+b≥0 (iv) a≥0, b<0, a+b<0, (v) a<0, b≥0, a+b≥0, (vi) a<0, b≥0, a+b<0 (2)は,(i) |x|-|y|<0 (ii) |x|-|y|≧0 の場合に分けて証明することもできる。 注》(1),(2)より|a|-|0|≦la+b|≦|a|+|6| が得られる.これを三角不等式という. 練習 31 次の不等式を証明せよ! ((1)については例題 34 (1) を利用) |+|| (g)

6300より〜の問題で、回答は6302.6304…などの数字は考えていないように感じます。回答が間違ってるのでしょうか、それとも私の考えが間違ってるのでしょうか？

340 第6章 場合の数 例題 168 重複順列 (2) **** 4桁の自然数について, 各位の数字がすべて偶数である自然数は全部で 何個あるか.また, その中で, 6300よりも大きい自然数は全部で何個ある か. |考え方 Ta 4桁の自然数とは 0から9までの数字から同じ数字を何度使ってもよいものとして 個選ぶ重複順列のことである.ただし,千の位は0以外の数字とする。 各位の数字がすべて偶数である4桁の自然数も, 千の位に 0 がこないことに注意して 0,2,4,6,8 の数字から4個選ぶ重複順列と考えればよいの 各位の数字が偶数で,6300より大きい自然数は,次のように場合分けする。 64. 66□□ 68. □に入る数字を, 0, 24, 6, 8 から選べばよい. 解答 各位の数字が偶数になるのは, 例 に xi 考え 千の位の数が2,4,6,8 その他の位の数が 0 2,4,6,8 千の位に 0 はこない 千 百 十 のときである。 位は4通り、 その他の位は5通りである。 よって、 各位の数字がすべて偶数である自然数は, 4×5=500 (個) また,その中で,6300より大きい自然数は、地 (i) 64□□, 66, 68□□の場合 □に入る数字, つまり,下2桁に入る数字は, 02468の5個から2個取る重複順列より, 5225 (個) したがって, 4通り 5通り 15通り 15通り 3×25=75 (個) 64□□,66□□, (Ⅱ)□□□の場合 68の3通り 下3桁に入る数字は, 0 2 4 68の5個から3個取 る重複順列より 5=125 (個) よって, (i), (i)より, 各位の数字がすべて偶数である自然 数で, 6300 よりも大きい自然数は, Focus 75+125=200 (個) 和の法則 個から重複を許して個取る重複順列の総数は通り 解 練習 4桁の自然数について, 次の問いに答えよ. [168 (1) 各位の数字が奇数である自然数は全部で何個あるか.また,その中で, ** 5700よりも大きい自然数は全部で何個

（1）のとき、イコール記号を切り離して3つの方程式を答えとしても正解ですか？

ペー 3空間のベクトルの応用 例題 C1.66 直線の方程式 (1) (315) C1-129 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ. (2) 2点A(2,2,-3), B(5, 2, 2) を通る直線 (1) 点A(0, 1, -2) を通り, d=1,2,3) 平行な直線 (3)点A(2,1,0) を通り, d=(0, 0, -1) に平行な直線 考え方 直線の式を求める際は, 「解答 ①p=a+td (1点A(a) を通り,方向ベクトルの直線) ②p=a+t(b-a) (2点A(a),B(b)を通る直線) を利用する.(②で b-a=d とおくと, ①と同じ式になる.) (1)A(7) とし,求める直線上の点をP(D) とすると, p=a+td (tは実数) だから,P(x,y,z) とすると, (x,y,z) = 0,1,-2)+t(1,2,3) **** x= =(t,1+2t,-2-3t) (tは実数) よって、求める方程式は, tを消去して y-1_z+2 2 (2)A(2,2,-3) を通り,方向ベクトルが AB= (3,0.5)の直線だから (x,y,z) = (2,2,-3)+t(305) =(2+3t,2,-3+5t) (tは実数) よって、求める方程式は を消去して, x-2_z+3 35,y=2平 (3)点A(2,1,0)を通り, 方向ベクトルが (0, 0, -1) の直線だから分 4-1-2-1 (x,y,z)=(2,1,0)+t(0,0, -1) (2,1,-t(tは実数) よって、求める方程式は, x=2,y=1 炭火&取沢 標準形という. AB =(5-2, 2-2, 2+3) =(3, 0, 5) より, 点Aを通り, AB に平行な直線と 考えればよい. 1 y 2人 xx zは任意の実数 第4章 Focus 空間における直線は, ベクトル方程式p=a+td (tは実数) を 用いて表す 注)(2)では,方向ベクトルの成分は0より、この直線上の点のy座標はつねに2(一定値) である.(3)では,方向ベクトルのxy成分はともに0より, この直線上の点のxy 座標はつねに x=2,y=1(一定値)であり、座標は任意の実数値をとる。 ●から成っている。 練習 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ. C1.66 (1) 点A(2,-1, 3) を通り (2,16)に平行な直線 ** (2) 2点A(1, 2, 3), B(4, 3, -1) を通る直線 - (3) 点A(7, 2, 8) を通り、x軸に平行な直線 B1 58.13 B2 C1 C2

①とこのの0<4x<40の40はどこからきたのですか？ 教えて頂きたいです🙇‍♀️

例題 85 2次不等式の応用 3 2次関数と2次不等式 155 **** 長さ80cmの針金がある. これを2つに切って, それぞれの針金を折り 曲げて正方形を2つ作る2つの正方形の面積の和が218cm² 以上となる ようにするには, 針金をどのように切ればよいか. 短い方の針金の長さの 範囲を求めよ. 考え方 まず何を文字でおくか考える。 ここでは,短い方の針金の長さの範囲を求め たいので,短い方の針金の長さを文字でおく。 このとき、右の図のように針金は正方形に折 曲げて考えるので、 xcmではなく, 4xcm おく ( 徳島文理大 ) 針金の長さをxcm とおくと... 第2 -cm 針金の長さを 4xcm とおくと・・・ xcm 解答) 短い方の針金の長さを 4x cm とすると,長い方の針金の 長さは, 80-4x=4(20-x) (cm) 0<x< 10 ( 04x <40 より 20-x 2つの正方形の1辺の長さは,それぞれ,xcm,短い方の針金の長さ (20-x) cm だから, >> ・① (ルース)(+x)=g- -x x2+(20-x)2218 2x2-40x+400≧218 2x2-40x+182≧0 x2-20x+91 ≧ 0 (x-7)(x-13)≧0 130 128 18-xs-1 は80cm の半分以 下である。でもよい、 2つの正方形の和が 218cm2以上である より x≦7,13≦x ② ② (I-x)=ことを不等式で表す. 1つになることに (2) ① ② の共通部分は, ① 0<x≤7 よって, 04x≦28 だから, 短い方の針金の長さ の範囲は,0cm より長く, 28cm以下とすればよい 0 0 7 10 13 X Focus 文章問題は, ① 何を文字でおくか ② 求めた解の吟味 (条件を満たしているかどうか) が重要 (合流