⑵でn(n+1)は⑴で偶数であると証明されたことを利用して 残りの(2n+1)が3の倍数であればいい。このことを証明する..... と考えましたが ここからどうすればいいでしょうか

*105 nは整数とする。 (1) n(n+1) が偶数であることを示せ。 (2) n(n+1)(2n+1) が6の倍数であることを示せ。 (3) n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)が 30 の位粘です

以下のことを合同式を用いて示してほしいです。よろしくお願いします。

4. 任意の整数mに対して となることを示せ . 5. 自然数nに対して, となることを示せ . m² - 6m7+9m5 - 4m³ = 0 mod 8640 52n+12n+2 +3n+222n+1=0mod 19

この問題の解き方教えて欲しいです🙇‍♀️至急お願いします！！

nは自然数とする。 合同式を用いて,次のことを証明せよ。 (1) 26-5+32n は 11 の倍数 (2) 4+1+52n-1は21の倍数

駿台全国模試の数学の問題です。 解説は十分に理解できているのですが、 私は(2)で3の倍数でない自然数を3k+1、3k+2と表して解きました。自分が解いた参考書だとその表し方が多かったからです。 (2)ではそれで問題なかったのですが(3)をその表し方で解いたときに、解説のよ... 続きを読む

【文3】 次の問いに答えよ. (2) xを3の倍数でない自然数とする.x を9で割ったときの余りを求めよ. (1) t の2次方程式(a-1)t + α² - a = 0 が実数解をもつような実数aの値の範囲を求めよ. (50点) (3) x,yを3の倍数でない自然数とする. x+y=3' を満たすx, y が存在するような自然数を求めよ. 考え方 (1) 2次方程式の判別式を利用します. (2)xを3で割った余りに注目して場合分けをします. (3) (2)の結果から,x=3m +1.y=3n-1として考えればよいです。左辺を因数分解したときの因数が3以外の墓 因数をもたないことに注目して必要条件を考えます。その後, (1) の結果を用いればx,yの値を求めることができ ます. 【解答】 (1) (a-1)t + α-α = 0 の判別式をDとすると,実数解をもつための条 件はD≧0であるから (a-1)² - 4(a²-a) ≥ 0 34²-2a-1≦0 (答) -sası (2)は3の倍数でない自然数であるから、 次の(i), (ii) のいずれかの場合を考 えればよい. (i) x=3k+1 (kは0以上の整数)のとき x³ = (3k + 1)³ = 27k³+27k² +9k +1 = 9(3k³ +3k² + k)+1 より xを9で割った余りは1である. (ii) x=3k-1 (kは1以上の整数)のとき x=(3k-1)3 = 27k³-27k² +9k-1 =9(3k² -3k²+k-1) +8 より, xを9で割った余りは8である. (i),(ii)より,xを9で割った余りは 「xを3で割った余りが1のとき1 (答) lxを3で割った余りが2のとき8 ( 3Xi) p=1のとき (x,y)=(1,1)であれば x³+y³ = 2 (x,y) キ (1,1) であれば x+y≧13+2=9 よって, x+y=3を満たす自然数x, y は存在しない. (ii) p2 のとき 3Pは9の倍数であるから, x+y も9の倍数である.x, yに関する条 件の対称性と (2) の結果から x=3m+1,y=3n-1 (m,nは整数, m≧0.n≧1) として考えても一般性を失わない. 一数32- ← 【解説】 1° 2° ◆ 【解説】 3° これ 3P 3 (1 1

青チャートII Bの等比数列の質問です。黄色線の所はどこから出てきたんですか？

534 00000 重要 例題 100 等差数列と等比数列の共通項 数列{an}, {bn}の一般項をan=3n-1, bn=2" とする。 数列{bn} の項のうち、数 列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列 {cn} を作るとき, 数列{ch の一般項を求めよ。 重要 93, 基本 99 指針 2つの等差数列の共通な項の問題(例題93) と同じように,まず, a=bmとしての 関係を調べるが,それだけでは {cn}の一般項を求めることができない。 そこで,数列{an}, {bn} の項を書き出してみると,次のようになる。 {an}:2,5,8,11, 14, 17, 20, 23, 26,29,32, 1 {bn}:2,4,8,16,32, C=b, Cz=bs, Ca=bsとなっていることから,数列{bn} を基準として, bm+1 が数列{0,} を順に調べ、規則性を の項となるかどうか, 6m+2が数列{an}の項となるかどうか, 見つける｡ 解答 α=2, b=2であるから C₁=2 数列{an}の第1項が数列{bn}の第m項に等しいとすると 3-1=2m ゆえに bm+1=2m+1=2m・2=(3-1)・2 =3.2l-2 よって, 6m+1 は数列{an}の項ではない。 13・O-1 の形にならない。 ①から bm+2=26m+1=3・4l-4 =3(4-1)-1 ゆえに, bm+2 は数列{an}の項である。 したがって {C}:b1,63,65, 数列 {cm} は公比22の等比数列で, C1 = 2であるから Cn=2•(22)"-1=22n-1 Cn ・などと答えてもよ い。 全 検討 合同式(チャート式基礎からの数学

z=7とk=3ですると最後はLに0を代入したら答えになるんですが、回答はz=-8とk=-4でLに1を代入しています。この違いはなんですか？

そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ,その解を求める方針で解いてみよう。 9000 510 3 で割ると2余り、5で割ると3余り,7で割ると4余るような自然数 ものを求めよ。 基本 例題129 1次不定方程式の応用問題7270 1/sx'Y89®。 最本121.12% 3で割ると2余る自然数は2,5,8.11,14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3,8,13, 18, 23, 4 が共通の。 8が最小である。 指針> と5の最小公倍数 15すつ大きくな。 また、7で割ると4余る自然数は B 4.11, 18, 25,32, 39, 46,53. の, Bから、求める最小の自然数は 53 であることがわかる。 の 8,23, 38,53. 68, い(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率的である。 解答 2はx, y, zを整数として,次のように表される。 2=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 3x-5y=1 注意 3x+2==5y+3 かつ 5y+3=7z+4 として解いてもよいが、 数が小さい方が処理しゃ の 3x+2=5y+3から x=2, y=1 は,① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(yー1)=0 すなわち 3(x-2)=5(y-1) 3と5は互いに素であるから,kを整数として,x-2=5k と表 される。よって い。 4このとき y=3k+1 x=5k+2(k は整数) の 43x-7z=2から のを3x+2=7z+4に代入して 3(5k+2)+2=7z+4 7z-15k=4……③フー7 kコ3 3(x-3)-7(z-1)=0 ゆえに,1を整数とし ゆえに 2=-8, k=-4は,③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4) 7と 15は互いに素であるから,しを整数として,z+8=15/ と 表される。よって これをn=7z+4に代入して n=7(15/-8)+4=105/-52 最小となる自然数nは,1=1 を代入して x=71+3 これとx=5k+2を て 5k+2=71+3 よって 5k-7=1 ス=15/-8(1は整数)、 これより,k, Iが連 るが,方程式を解く 1つ増える。 53 検討百五減算 ある人の年齢を3, 5, 7でそれぞれ割ったときの余りをa, b, c とし, n=70a+216+1 る。このnの値から105を繰り返し引き, 105 より小さい数が得られたら,その数がそ 齢である。これは3,5, 7 で割った余りからもとの数を求める和算の1つで,百五減算 る。なお、この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると、 x=a(mod3), x=b(mod 5), x=c(mod 7)であり、 n=70a=1·a=α=x (mod3), n=216=1·6=b=x(mod5), n=15c=1·c=c=x よって、カーズは3でも5でも7でも記n加n

(1)で互除法で計算していく過程について質問します。 =関係で結ばれた値において解答では、x-4=6kとしていますが、x-4=-6k(2枚目写真)としてはいけないのでしょうか？

508 基本 例題128 1次不定方程式の整数解 (2) ax+by=c 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 4(1) 7x+6y=40 メ (2) 37x-90y=4 基本 127 演習131 指針>O ax+by=c の整数解 が第一の方針。 の ない。そこで,(2)では, 次の方針による解答を考えてみよう。 1 aとbの最大公約数を 互除法によって求め.その計算過程を逆にたどる。 1組の解(b, q) を見つけて a(xー)+6(y-q)=0 しかし,(1)は比較的見つけやすいが,(2) は簡単に見つから …特に、1=ap+bq の形が導かれたら,両辺をc倍して a(cp)+6(cq)=c 2 係数を小さくして (本書では 係数下げ と呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。 なお, 検討 として, 3 合同式を利用する 解法も取り上げた。 味 ージ糖 解がすぐに見つからなければ 互除法 または係数下げ CHART 不定方程式の整数解 うにと 解答 (1) x=4, y=2 は7x+6y=40 の整数解の1つである。 7(x-4)+6(y-2)=0 7(x-4)=D-6(y-2) 7と6は互いに素であるから, kを整数として (7x+6y=40 から 7x=2(20-3y) よって, x は2の倍数であ る。このようにして, 方程 式を満たす整数解を見つけ る目安を付けるとよい。 ゆえに,方程式は すなわち x-4=6k, -(y-2)=7k と表される。 x=6k+4, y=-7k+2(k は整数) よって,解は

フェルマーの小定理 ⑵が分かりません

用 考え方(1) mbと nbをaで割った余りが等しいとすると矛盾が生じることを示す。 (1) 正の整数aとbが互いに素のとき、 b, 26, 3b, 4b, ………, (a-1)b 例 題 277 フェルマーの小定理(1)O をaで割った余りは,すべて異なることを示せ,ただし, aN3 と する。 vo(1)を利用して,正の整数aが3以上の素数かと互いに素であるなら ば、aP-! をかで割った余りは1であることを示せ, 必要であれば, bと m が互いに素のとき, ka=kb (modm) ならば, a=b(mod m)となることを用いてもよい。 mbと nb をaで割った余りが等しいとすると矛盾が生じることを示す。 (2) 合同式を利用して,a°!=1 (modp) を示す。 「総答(1) m, n は整数で, 1lSm<n<aとして、 aで割ったと きのmbと nb の余りが等しいと仮定する。 このとき,nb-mb=(n-m)b はaの倍数であるが, aとbは互いに素よ り,n-mがaの倍数となる. ところが, 1<n-m<a-1 より, n-mはa の倍数にならないので矛盾する。 よって,aで割った余りはすべて異なる。 (2)aとかは互いに素であるから, a, 2a, 3a, 4a, ……, (カー1)aをかで割っ たときの(カ-1)個の余りは, (1)よりすべて異なり,かは素数であるから, (カ-1)個の余りは, 1, 2, 3, 4, ……, p-1である。 したがって,pを法とする合同式を用いると, a×2a×3a×4a×………×(カー1)a =1×2×3×4× ×(カ-1) (mod) つまり, 素数かと 2,3, 4. 背理法を利用する。 あケ素が4 ポー 4お(1- a=b(modm), c=d (modm) ならば、 ac=bd (modm) (b-1)!a°-1=(カ-1)! (modp) 0 ……, p-1とはいずれも互いに素 るるっであるから,(カー1)! とかは互いに素で, ①は, a-1=1 (modか) で働多(よって, a"-1 をかで割った余りは1である。 p=2 のときも成り 立つ、

（2）合同式で教えてほしいです。

8-8 [(2) 類京都薬大] 144 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 7x-6y=40 (2) 7x+19y=2014 (3) 46:x-35y=4

81≡1(mod5)になる理由を教えてください

例2 nは整数とする。 nを5で割った余りが3であるとき, n* を5で 割った余りを求める。 20 n=3 (mod 5) のとき n*=81 (mod 5) 81=1(mod 5) より n*=1 (mod 5) よって, n* を5で割った余りは1である。 終