Question

さこ

駿台全国模試の数学の問題です。
解説は十分に理解できているのですが、
私は(2)で3の倍数でない自然数を3k+1、3k+2と表して解きました。自分が解いた参考書だとその表し方が多かったからです。
(2)ではそれで問題なかったのですが(3)をその表し方で解いたときに、解説のような(1)の結果を利用する解き方ができず混乱してしまいました。
問題を解き進める前に3の倍数でない自然数を3k+1、3k−1する方が良いと、どう予測すれば良かったのでしょう？

【文3】
次の問いに答えよ.
(2) xを3の倍数でない自然数とする.x を9で割ったときの余りを求めよ.
(1) t の2次方程式(a-1)t + α² - a = 0 が実数解をもつような実数aの値の範囲を求めよ.
(50点)
(3)
x,yを3の倍数でない自然数とする. x+y=3' を満たすx, y が存在するような自然数を求めよ.
考え方
(1) 2次方程式の判別式を利用します.
(2)xを3で割った余りに注目して場合分けをします.
(3) (2)の結果から,x=3m +1.y=3n-1として考えればよいです。左辺を因数分解したときの因数が3以外の墓
因数をもたないことに注目して必要条件を考えます。その後, (1) の結果を用いればx,yの値を求めることができ
ます.
【解答】
(1) (a-1)t + α-α = 0 の判別式をDとすると,実数解をもつための条
件はD≧0であるから
(a-1)² - 4(a²-a) ≥ 0
34²-2a-1≦0
(答)
-sası
(2)は3の倍数でない自然数であるから、 次の(i), (ii) のいずれかの場合を考
えればよい.
(i) x=3k+1 (kは0以上の整数)のとき
x³ = (3k + 1)³
= 27k³+27k² +9k +1
= 9(3k³ +3k² + k)+1
より xを9で割った余りは1である.
(ii) x=3k-1 (kは1以上の整数)のとき
x=(3k-1)3
= 27k³-27k² +9k-1
=9(3k² -3k²+k-1) +8
より, xを9で割った余りは8である.
(i),(ii)より,xを9で割った余りは
「xを3で割った余りが1のとき1
(答)
lxを3で割った余りが2のとき8
( 3Xi) p=1のとき
(x,y)=(1,1)であれば
x³+y³ = 2
(x,y) キ (1,1) であれば
x+y≧13+2=9
よって, x+y=3を満たす自然数x, y は存在しない.
(ii) p2 のとき
3Pは9の倍数であるから, x+y も9の倍数である.x, yに関する条
件の対称性と (2) の結果から
x=3m+1,y=3n-1 (m,nは整数, m≧0.n≧1)
として考えても一般性を失わない.
一数32-
← 【解説】 1° 2°
◆ 【解説】 3°
これ
3P
3
(1
1

50点)
外の素
ができ
x^3+y^3=30
∴. (x+y)(x-xy+y^) = 3
これに①を代入して
{(3m+1)+(3n-1)}{(3m+1)^2-(3m+1)(3n-1)+(3n-1)^}=3"
(3m+3n)(9m²-9mn+9n²+9m-9n+3)=3
(m+n){3(m²-mn+n²+m-n) +1} = 3P-2
39-2は3以外の素因数をもたない.一方,30m²-mn+n²+m-n) +1は
3で割って1余る整数であるから
3(m²-mn+n²+m-n) +1=1
m²-mn+n²+m-n=0
m²-(n-1)m+n²-n=0
..
......2
は0以上の整数であるから②を満たすような実数が存在する必
要がある. (1) の結果から,②を満たすmが実数であるようなnの値の範
ぼ
-1/ ≦n≦1
である. nは1以上の整数であるから
n=1
これを②に代入すると
m=0
①より
x=1, y=2
を得る.これをx3+y^3=3に代入すると
p=2
(i), (ii)より, 求める μ の値は
p=2
(答)
【解説】
1° (2)は, x を9で割った余りに注目して場合分けすることもできる. xは3
の倍数でない自然数であるから, 9 を法とする合同式でx=1, 2,4,5,7,
8のときを考えればよい.
x=1のとき x=13=1
x=2のとき x=2°=8
x=4のとき x=4°=64=1
x=5のとき x=53=(-4)'=-64=8
x=7のとき x=73=(-2)=-8=1
x=8のとき x=8°=(-1)'=-1=8
2° ある自然数n を用いてと表せる数を立方数という. (2) の結果に加えて,
(3k)3 = 27k (これを9で割った余りは0)であることから, 立方数を9で
割った余りは0, 18 のいずれかであることがわかる.
3°x,yは3の倍数でない自然数であるから, 9で割った余りは1,8のいず
れかである. これに注目して下表の(ア)~(エ) のいずれかの場合を考える.
xを9で割った余りを9で割った余りx+y”を9で割った余り
2
1
(ア)
1
0
8
(イ)
1
0
8
1
11
8
8
7
← 【解説】 4°

整数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みなみ

あなたの方法(x=3m+1, y=3n+2とおく)だと
m²-nm+n²+n =0が得られます。
でも、別にここで(1)を利用したいと思えば
(1)のt²-(a-1)t+a²-a=0と比べて
mをt、nをa-1と思えば(置き換えれば)使えます。
このように、似ているのだから比べて変形してどうにかうまく使えないかと考えることは大事ですよね。
変形しても全く同じ式が得られないかもしれませんが、
近い形なら何か利用できるかもしれません。

この問題でどう予測すべきか以前に、
3m+1と3n-1などとおくのは大事です。
①対称的におくという点でもメリットがあります。
②定数部分+1,-1の絶対値が小さくなるのもメリットです。
3k+2を2乗3乗するより
3k-1を2乗3乗する方がいいに決まっています。
そういう定石です。
ふだんそうするのが「いい方法」だから、本問でもそうしてみるわけです。

さこ

よく理解できました！ありがとうございます！！