27(東北大]
aを実数とする。2つの曲線C,:y= x° とC,:y=2x?-ax を考える。
(1) 2曲線C,, C,が異なる3つの交点をもつための a の条件を求めよ。
(2) 2曲線C,, C,が異なる3つの交点をもち,C, と C。で囲まれる2つの部分の面積が等しくなるaの値を求めよ。
(1) C,と C,の交点のx座標は,方程式=2x?-ax の実数解と等しい。
x= 2x?-ax から
Xx2-2x+ a)=0
したがって,C, と C,が異なる3つの交点をもつための条件は、
x-2x+a=0 -…0 が0でない異なる2つの実数解をもつことである。
のの判別式をDとすると
D=(-1)2-a=1-a
02-2-0+4キ0かつD>0 より
aキ0かつ1-a>0
ゆえに
a<0, 0<a<1
(2) (1)のとき,CとC2の交点の×座標は
x=0, 1土、I-a
yt
a=1-VI-a, β=1+VI-a とおくと
a+β=2, aβ=a
[1] 0<aくBすなわち 0<a<1のとき
C,と C,の位置関係は右の図のようになる。求める条件は
S-2r
S(2r"-ax
-ax)\dx=
ax) - xdx
すなわち (ー2x°+ ax)dx=0 ……の
C, O
8
a
x
ここで(佐辺)--+r+agada=-+ーa-Ag
a+8
3
12
よって,2より
(2a-8)83=0
Bキ0であるから
2a-8=0
これと a+β=2から
=,B=3
4
8
3
このとき a=a8= これは0<a<1を満たす。
9
[2] a<0<B すなわち a<0のとき C, と C,の位置関係は右の図のようになる。
求める条件は
S-2-ax)dx=(2r*-ar
)- x}dx
a
すなわち (*ー2x'+ ax)dx=0
Bx
(左辺)
リ=f"x*ーa)-dr=
{(x-a)+a(x-a{(x-a)+(α-B))dx
ここで
=(xーa+(2a-BXxーa*+a(a-B(x-a)dx=-p(a+BXB-a}
よって,3より
(a+8XB-a)=0
a+8=2, 8-aキ0であるから,これは成り立たない。
[1], [2] より,求めるaの値は
8
=D
