(3) 漸化式を変形して, 一般項 anをnの式で表すのは難しい。そこで, (2)で示した不等
1p.174 基本事項3,基本 105
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里要 例題113 漸化式と極限 (5) … はさみうちの原理
(2) 3-an+1<る(3-an)を証明せよ。
3
(1) 0<an<3を証明せよ。
(3) 数列 {an} の極限値を求めよ。
(類神戸大
指針> (1) すべての自然数nについての成立を示す→数学的帰納法 の利用。
(2)(1)の結果,すなわち an>0, 3-an>0 であることを利用。
式を利用し,はさみうちの原理 を使って数列(3-an} の極限を求める。
はさみうちの原理 すべての nについて pnミ anSgn のとき
lim pn=limgn=αならば
liman=α
n→0
n→0
n→0
なお,次ページの補足事項も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
解答
(1) 0<an<3
のとする。
[1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<as<3
n=k+1のときを考えると, 0<ax<3であるから
(数学的帰納法による。
10<a<3
an+1=1+V1+ak >2>0.
aた+1=1+V1+a <1+V1+3 =3
40<a。 から 1+a>1
~w
Aa<3から 1+a <2
したがって
0<ab+1<3
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
(2) 3-an+1=2-/1+an =
3-an
2+V1+an
(3-an>0であり, a,>0か
ら 2+/1+a,>3
(3) (1), (2) から
0<3-a.s(-)(3-a)
1
n-1
1n-1
n22のとき,(2) から
()(3-a)=0であるから
ロ
lim
3-a<ロ-0)
<(a-a
<ロ)
n→0
lim(3-an)=0
n→0
したがって
liman=3
n→0
-1
