76 第1章 数列の極限
Think
例題 29
不等式の証明(2)
1
(1) 不等式
✓k+I+√k
1
1
(2)
+
n=1n
√1
2
+ +……が発散することを示せ.
√3
↓k
1
****
(kは自然数)が成り立つことを示せ
考え方
(2)このままでは部分和を求めることができない.
まず,どのように発散するか予想してみると.
(予想) 「各項とも正でそれを次々と加えている」
↓
「発散する場合は,正の無限大 (+∞)に発散しそう」
となる.
したがって,一般項がよりも小さい無限級数
√n
・正の無限大に発散する無限級数
をともに満たすものを見つけ, 「追い出しの原理」 (p.21 参照) を利用する。
1 =が発散することをまず示す.
vn+1+√n
√k+1>0,√k> 0
解答
(1) kは自然数より、
したがって,
k+1+√√k
両辺の逆数をとると,
vk+1+√k
√k
よって、 与式は成り立つ.
(2)1/1は自然数
である.
1
√k+1-√k
わかる。
①
①とおいて,
1
antityn
が
発散することをまず
vk+1+√k
(√k+1+√√k)(√k+1−√k)
=vk+1-√k
示
分母の有理化をする.
1
より
の部分和 S は,
vn+1+√n
S=(-1)+(2)+(-)
部分和 S を求める.
+
+(n+1)
=√n+1-1
したがって,
==
$2
27,+1+1= lims.= lim(√z+1−1)
ivn+1+vn
=8
80
8 1
より
②
求める。
#=1√ n
よって、①,②より、2=∞となり,発散する.
(追い出しの原理)
n
00
