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・隣接3項間
基本 例題110 漸化式と極限 (2)、
00000
その条件によって褒められる数列 (c) の極限値を求めよ。
1
2=1,
-(an+1+3an)
4
計方針は基本例題109と同じく,一般項an をnで表してから極限を求める
方般3項間漸化式でその支解をすると、そのとおいたの2次方程式
M
( 特性方程式) を解く。 その2解をα, βとすると、Bのとき
の2通りに変形できる。 この変形を利用して解決する。
なお, 特性方程式の解に1を含むときは, 階差数列 が利用できる。
解答
与えられた漸化式を変形すると
(1+1—an)
an+2an+1
ゆえに, 数列{an+1-an} は初項1,公比 -
-
an+2)adn+1=β(an+1-Qan), an+2-Ban+1=0(a.ti-Ba.)
an=a+
よって, n ≧2のとき
3\n-1
²x = (-³) -¹
an+1_an=
+(-3)*¹²*
k=1\
k-1
よって
n→∞
=0+
liman=
1-(-3)^²-²
1-(-³) 07
4
-lim-/-(1-(-3)^¹-¹) = 4
また a2-a=1-0=1
の等比数列で
1
3
4
n-1
-40-(-3))
したがって
注意 この問題のように, 単に数列{an}の極限を求めるときは,
2のときだけを考えてかまわない。つまり, n=1の
ときの確認は必要ない。
n-11
別解 [am の求め方] 与えられた漸化式を変形すると
3
3
an+2an+1=-
(an+1-an), an+2+ an+1=an+1+
4
4
-7a₁-(-3) ³-²-1
an=
P.176 まとめ 基本 109
3
4
a.- -/- (1-(-3)^"")
an
3
4
025 -0.-(-3). am + fama+fa=1
ゆえに an+1-an=|
-an =
3
an+1+
4an=a₂+₁
491=1
辺々引いて
an
=(x+3) を解くと
4x2=x+3
4x2-x-3=0
(x-1)(4x+3)=0
よって x=1,
3
4
{an}の階差数列{bn}が
かれば,n≧2のとき
n-1
an=a₁+Σbk
k=1
18
Aa=1, B=-
極限を求めるとは,
n→∞ の場合を考
-3/2
3
4'
とα=-
β=
場合の2通りで
Man+1 を消去。
