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基本 例題 182 対数方程式の解法 (1)
次の方程式を解け。
(1) logsx+10g(x-2)=1
(3) 10g2(x+2)=1oga(5x+16)
0000
(2)10g2(x²+5x+2)-10gz(2x+3)=2
(3)期限)。
P.289
指針 対数に変数を含む方程式 (対数方程式) を解く一般的な手順は、次の通り。
と (底に文字があれば) 底>0, 底≠1 の条件を確認する。
[2] 異なる底があればそろえる。
[3] 対数の性質を使って変形し, logaA=log&B の形を導く。
4 真数についての方程式 A=Bを解く。
54で得られた解のうち,①の条件を満たすものを求める解とする。
(1)真数は正であるから,x>0かつx-2>0より x>2
方程式から logs.x (x-2)=10g33
対
件
解答
したがって
x(x-2)=3
ゆえに
(x+1)(x-3)=0
よって
x=-1,3
整理してx²-2x-3=0 2次方程式に帰着。
x2であるから, 解は
x=3
(2) 真数は正であるから x2+5x+2>0, 2x+3> 0 ···
①
真数条件を満たすもの。
方程式から
log2(x²+5x+2)=logz4+10gz(2x+3)
よって
log2(x²+5x+2)=log24(2x+3)
したがって
x²+5x+2=4(2x+3)
整理して
x2-3x-10=0
ゆえに
(x+2)(x-5)=0
よって
x=-2,5
このうち, ①を満たすものが解であるから
x=5
(3) 真数は正であるから, x+2 0 かつ 5x + 16 > 0 より
x>-2
log2(5x+16) 1
2
-log2(5x+16) である
log2(x+2)=110g2(5x+16)
(2) 真数>0から、立
等式①が導かれる。
ここで,①を満たす。
の値の範囲を求めてもよ
いが,式変形することに
より導かれるxの値の
うち, ①を満たすものを
求める解とした方がらく
x=2のとき 2x + 3 <
となり,①を満たさな
loga (5x+16)=
log24
から, 方程式は
よって
ゆえに
(x+2)=5x+16
よって (x+3)(x-4)=0
x-2であるから,解は
整理してx2-x-12=0
ゆえに
x=-3,4
x=4
log2(x+2)=10gz(5x+16)
x=5のとき
x²+5x+2>0,2x+3
となり, ①を満たす
底をそろえる。
x+2>0であるから
210g2(x+2)
=log2(x+2)2
次の方程式を解け。
■2 (1) 10gs (x-2)+10g(2x-7)=2
(3)10ga(x+2)+10g/x=0
(2)10g2(x²-x-18)-10gz(x-1)=8
[(2) F
