問
138 数学的帰納法 (II)
nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1)1+2°+…+2=1/on(n+1)(2n+1)
1
(2)1+-
+.
2
13
1
2n
・+・・・+
n
n+1
ある事柄をす
…②
手ともなく
精講
手順は 137 と同じですが, n=kのときの式から, n=k+1 のとき
の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解答
(1) i) n=1のときつことを示す。
左辺 = 1, 右辺 = 1・2・3=1
=11
I+A
それよって, n=1のとき, ①は成立する。
ii) n=kのとき
12+2+..+k^2=1/2k(k+1)(2k+1)……①
が成立すると仮定する.
①の両辺に(k+1)2 を加えて
左辺 =12+22+++(k+1)2
[左辺に,
12+2+...
右辺==k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
+k2+(k+1)2
を作ることを考える
=
=1/2(k+1){(2k+k)+6(k+1)}
6
6
(k+1)(k+2)(2k+3)
H
これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである.
よって,①は n=k+1 でも成立する.
i), ii)より,①はすべての自然数nについて成立する。
