Question

まゆ

数学B 数学的帰納法の問題です。
n=1, n=k, n=k+1で置けるかな？と思ったのですが、途中式の組み立て方が思いつかないです...。

1. n を3以上の自然数とするとき,次の不等式を証明せよ。
3">n2 +3n

数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

教科書の例題くらいの問題かと思います
計算ミスあるかもしれませんが…

骨子のみです
n=k(k=3,4,5,…)での成立:3ᵏ>k²+3kを仮定し
n=k+1での成立:3ᵏ⁺¹-( (k+1)²+3(k+1) )>0を示せばよい

3ᵏ⁺¹-(k+1)²-3(k+1)
=3×3ᵏ-k²-5k-4
>3(k²+3k)-k²-5k-4（∵仮定）
=2k²+4k-4
=2(k+1)²-6
これはk≧3ではつねに正

まゆ

ありがとうございます！
3ᵏ>5n+1 のような形は教科書でも見ていたのですが、n²+3nと出てきて解けず、悩んでいたので助かりました！
自力で式を立てられるよう、努力します。ありがとうございました！