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横浜国立大
数1·II·A.B ((例)
(前期日程)○経済◇
(試験日)
【入試科目)
90分
【時間)
2月25日
OA. OB = OB. OC =D OC - OA=k (0<k<1)
|OP|
空間内に4点O, A, B. Cがあり.
1OA| = |OB| = |0C| = 1
をみたしている。ただし, OA· OB はOA と OB の内積を表す。 三角形 ABCの重心を Mとする。g
と「APをそれぞれよの式で表せ
1OM
分 OM上に点Pがあり、 ZAPB = 90° をみたしている。
理工·都市科学部の「13と同じ.
3
と定める。zy 平面上でy=f(x)の表す曲線をCとする. 次の問いに答えよ。
(1) どのようなa, bの値に対しても. Cはある定点を通ることを示せ.
実数a, bに対し, 関数f(z) を
f(z) = -z°+ (a+2)z°- (3a-b-2)エ-3(b-1)
(2) f(z) は極値をとるとする. Cが2軸に接するような (a, b) の存在範囲を ab 平面上に図示せよ。
(3) (a, b) が(2) で求めた範囲にあるとき, f(z)の極値をaの式で表せ.
(2) f(z) = -(z-3){z°- (a-1)x-b+1}と
分解される。g(z)=2- (a-1)a-b+1とおくと
B
(ベクトルと図形 (空間))
(解答]
Cがェ軸と接するのは
|ABP = OB - OA|?
(i) g(3) = 9-3(a-1)-6+1=0
1OBP- 20A. OB +1OA|? =D 2(1-k)
.. b=-3a+13
三
同様にして、AB| =|BC|%=D |CA|だから, △ABCは
正三角形
(i) g(z) = 0が重解をもつ,すなわち g(z)%=00時
別式をDとすると、
D= (a-1)°- 4(-6+1)= 0
条件より, |AP| = |BP|だから, △APB は ZAPB=
90° の直角二等辺三角形となり、
I+ (1-D)-=9
|AB|
= V1-k
V2
ただし、(i). (ii) を同時にみたす f(z) = 0が3食
をもつときを除くので, (a, b) = (7, -8) を除く。
よって、(a, b) の存在範囲は下図の実線部分で(7, -9
を除く。
|AP|=
また。
2(1-k)
AB= \
2
AM =
V3 2
3
b4
\6=-3a+13
OM = (OA + OB + oc)
7
AB = (OA + OB + Oc). (OB - OA)
0
a
OM-
=10P-1OAP
-8
+ OC.(OB - OA)}
= 0
同様にして、OM. BC =0だから, OM 1平面 ABC
よって,三平方の定理より、
b=-a-1)2+1
(3)(i) b=-3a+13 のとき、
f(x) = -(x-3)?(-a+4)
f(x) = -2(r-3)(Hla+4)-(エ-3)"
=-( - 3)(3r - 2a+5)
OM° = OA? - AM° = 1-
2(1-k)
1+ 2k
三
3
PM° = AP? - AM? =D1-k-
3
2(1-k)
1-k
3
OP
OM - PM
3
1OM|
OM
=1-
1-k
よって、
1+2k
II
