基礎問
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第5章 整数の
97 ガウス記号 (ⅡI)
方程式 +18=9 [z] ･･････ ① について,次の問いに答えよ。
ただし, [x]はxを超えない最大の整数を表す.
(1) 実数xに対して, x-1<[x]≦x が成りたつことを利用して
①の解は 3≦x≦6 をみたすことを示せ.
(2) 方程式 ① をみたす』をすべて求めよ.
(1) 96 のポイントにある公式を使って, ガウス記号をはずせとい
う指示ですが、使う道具が不等式なので, ① はxの不等式になり
ます.そして,その解が3≦x≦6 をみたすという意味です。
(2)(1)は「①の解が 3≦x≦6」という意味ではなく「①の解は 3≦x≦6 の新
囲に存在する」という意味です。すなわち, 必要条件です。 しかし,このよ
うに幅のしぼり込みができると, 方程式 ①は, 「n≦x<n+1 (n:整数)」の
場合分けによって, ① は ｢=」のままで, ガウス記号をはずすことができます｡
精講
(1) x-1<[x]≦xだから,
よって,
解答
:. 9(x-1)<x²+18≤9x
9(x-1)<x²+18
x² +18≤9x
x2-9x+27>0
2-9x+18≦0
(3)
(2) +2>0より、②はすべてのエで成りたつ.…… ②
1
9(x-1)<9[x]≦9x
③より, (x-3)(x-6≦0 :: 3≤x≤6
②'③'より①の解は 3≦x≦6 をみたす.
