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重要 例題 199 不等式の成立条件
x20 のとき,x +32 ≧ px2 が常に成り立つような定数の値の範囲を求め
GHART
& SHINKING
[ 慶応大〕
|基本 198
(x)=xx2+32 として,x20 におけるf(x)の最小値120 となる条件を求める。
極小値が最小値の候補となるから,f(x)=0 となるxに着目すると,次の3つに分類できる。
① x=0で極小値 ②x=3Dで極小値 ③ 極小値をとらない=2/23のとき
区間 x≧0 における最小値を考えるとき、場合分けの境目はどこになるだろうか?
0と
1/3の大小関係により、最小値をとるxの値が異なる。
解答
f(x)=x-px2+32 とすると
f'(x)=3x²-2px=3x(x-2/3b
f'(x)=0 とすると
x=0.2/31
■11/30 すなわち≦0 のとき
①
3
(3)
x0 において,常にf'(x) 0 が成り立つ。。
よって, x≧0 の範囲でf(x)は常に増加する。
また f(0)=32>0
2
0x
3P
ゆえに, x≧0 のとき常に f(x) ≧0 が成り立つ。
x≧0 における f(x)
最小値は f (0)
[2] 01/23 すなわち >0のとき
x0 における f(x) の増減表は
2
XC
0
右のようになり,f(x)はx=1/23p
で極小かつ最小となる。
23
f'(x)
0 +
f(x)
極小
その値は13012732
4
p+32
よって, x≧0 において常に f(x) 20 となるための条件は
0
x≧0 におけるfx
最小値は(3D)
4
27 +32≥0
よって
p-8・27 0
63
p0 であるから
0<p≤6
[1], [2] から, 求めるの値の範囲は
p≤6
<<-p³-6³≤0
