どうしてアンダーラインのとこのように置き換えをしていいのかわかりません。

練習 (1) 次の不等式を証明せよ。 31 (7) a²+b²+c²zab+bc+ca (2) 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (ア) x≧0 y≧0のときx+ity (イ)x220,y0,z≧0のとき x+y 1+y 1+x+y 3 = (a-b+c)² +³ (b-c)² ≥0 2 4 (1) a+b+c¹zabc(a+b+c) x 1+x 1+y + よって a²+b2+c2≧ab+bc+ca 別解 α² +62+c²-(ab+bc+ca) + Z 1+2 -) (7) a²+b²+c²-(ab+bc+ca)=a²-(b+c)a+b²-bc+c² =(a_b+c)²-(b + c)² + b²-bc+c² DVOS= (イ)(ア)から a+b+c¹za²b²+ b²c²+c²a² また W ...... a²b²+b²c²+c²a²=(ab)²+(bc)²+(ca)² x+y+z 1+x+y+z {dA+µ¤Ã\)≤¹(J\§+W) Jet 円 ={(a−b)²+(b-c)²+(c—a)²} ≥0 ☆> 5.) ≤ dr+pel ok+sa (unes (3\S+ 3) (1) ≧abbc+bc.ca+ca・ab =abc(a+b+c) ←αについての2次式と みて、 基本形に直す。 ゆえに a²b²+b²c²+c²a²zabc(a+b+c) ...... ⒸVJ ① ② から a+b+c¹≥abc(a+b+c]}]] OSAYSTAVE ←(ア) のα を a b62 cc として考える。 ←(ア)のα を ab, bをbc, cca として考える。 よ (2)

この問題はなぜD1が完全平方式となればいいと言えるんですか？

重要 例題 51 2次式の因数分解 (2) (0①①①①① 4x2+7xy-2y²-5x+8y+kx,yの1次式の積に因数分解できるように, 定数kの値を定めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。 [類 創価大〕 |基本 20,46 CHART OLUTION 2次式の因数分解 =0 とおいた2次方程式の解を利用 (与式)=0 とおいた方程式をxの2次方程式とみたとき (yを定数とみる), 判別 —(7y—5)—√D₁ 式をD, とすると、与式は4{x-(7y-5)+√D}{x-(y-5)-D} の形 8 8 に因数分解される。D1はyの2次式であり,このときの因数がx,yの1次式と なるための条件は √DIがyの1次式⇔ D1 が完全平方式 すなわち D=0 として,この2次方程式の判別式D2 が 0 となればよい。 解答 (与式)=0 とおいた方程式をxの2次方程式とみて､ 4x²+(7y-5)x-(2y²-8y-k)=0 ① の判別式をDとすると まれている。これまでと同 っと D=(7y-5)2+4・4(2y²-8y-k)=81y²-198y+25-16k 与式がxとyの1次式の積に分解されるための条件は、 ①の解 がyの1次式となること,すなわち D1 がyの完全平方式とな ることである。 の D=0 とおいたの2次方程式 81y²-198y+25-16k=0 0 判別式をD2 とすると (2+8)(€ 9) = (86) D₂=(-99)²-81(25-16k)=81{11²—(25—16k)}=81(96+16k) 4 D2=0 となればよいから 96+16k = 0 よって x= ゆえに ...... このとき, D1=81y²-198y+121=(9y-11)2 であるから, ① の解は すなわち x=- , -2y+2 y-3 4 $=44-830-81 m2;&ck: __(7y-5)±√(9y-11) __(7y-5)±(9y-11) 8 8 MURDER inf. 恒等式の考えにより 解く方法もある。(解答編 および p.55 EXERCISES 15 参照 ) (5x)=4(x−y=³){x−(−2y+2)} kid =(4x-y+3)(x+2y-2) ◆ D1 が完全平方式 ⇔ 2次方程式 D1=0 が重 解をもつ =) AGOR adot 計算を工夫すると 992(9.11) 2=81112 は、 ←√(9y-11)^=|9y-11| であるが, ±がついて いるから, 9y-11の絶 対値ははずしてよい。 (括弧の前の4を忘れな - PRACTICE････ 51④ を定数とする2次式 x2+3xy+2y2-3x-5y+k がx,yの1次式の積に因数分解 できるときの値を求めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。 [東京大 2章 7 解と係数の関係

この問題の解き方と答えを教えて頂きたいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

次の2次式を複素数の範囲で因数分解せよ。 (1) x2+12 (2) 3x2-2x+1

この問題ってなんで判別式が0以上なんですか

4組 17番 休:46 技: 40 家:- 80 S 本 例題 49 2次方程式の解の存在範囲 (2) xについての2次方程式x (a-1)x+a+6=0 が次のような解をもつ な実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2) 1つの解は2より大きく, 他の解は2より小さい。 ブルンジ プションプラ ~45 技46 家 : 40 CHART & SOLUTION 実数解 α, β と実数kの大小 α-k, β-k の符号から考える (1) 2以上と2を含むから、等号が入ることに注意する。 az2, B≥2 ⇒ (a-2)+(B-2)≥0, (a−2)(B-2) ≥0) (2) α<2<β またはB<2<a (a−2)(B-2)<0 解答 x-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし,判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=a²-6a-23 解と係数の関係により a+B=a-1, aß=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の ①,②,③ が同 時に成り立つことである。 D≧0 (a-2)+(B-2) ≥0 (a-2)(8-2)≥0 PRACTICE ①から a²-6a-23≥0 ゆえに ②から at β-40 よって a≧5.. 5 ③から aβ-2(a+β)+4≧0 ゆえに a+6−2(a-1)+4≧ 0 よって a≦12 ... ⑥ ④,⑤,⑥ の共通範囲を求めて 3+4√2 ≤a≤12 a≦3-4√2,3+4√2≦a ゆえに (2) α <2<β または β<2<αであるための条 件は (a-2)(8-2)<0 よって α+6−2(a-1)+4<0 103 ② p.76 基本事項 51 4 (a-1)-4≥0 3-4√2 これを解いて a>12 重要 例題 50 4x²+7xy-2y²-5 定数kの値を定め f(2) CHART & TH 2次式の因数分解 「x,yの1次式の積 されるということ (与式)=0 とおい inf. 2次関数 |f(x)=x²-(a-1) のグラフを利用する (1) D≧0, 2 (軸の位置) ¥2, ƒ(2) ≥0 と、与式は x 数がx,yの1次 きである。 それは AT [解 O (与式)=0 とお 4x2+(7y- の判別式をD1 D = (7y- 与式がxとy 解がyの1次 となることで 81y²-198y+ D2 5 3+4/2 このとき,D> 立っている。 (p.754 ME ==(- =81 (2) ƒ(2) <0 D2=0 とな (p.765 補足 参このとき, ①の解は x= すなわち ゆえに P RACT

回答の部分で、初めの4行はなぜ書かなければダメなんでしょうか？教えていただけると嬉しいです。

<発展問題 409 次の条件 (A), (B) をともに満たすような, 整式で表された関数 f(x) がある。 f(x) は2次式であることを示し, f(x) を求めよ。 (A) f(0)=0 (B) (x+1)f'(x)=2f(x)-4

y=としてグラフもかくことが条件なんですけど、解き方もわからないしグラフもわかりません教えていただけませんか

次の2次式を平方完成せよ。 x²-x

(2)の解き方がわかりません。できるだけ詳しく解き方を教えて欲しいです。

(1) x² m'f'(x) +(1-2m)f(x)=1を満たす2次式f(x) を求めよ。 (2) f(0)=0(+1)f'(z) - 2f (z) +1 = 0 を満たす整式f (z) を求めよ。 BES

(2)においてです。 相加・相乗平均の使い方は理解できたのですが 2^x＞0、2^-x＞0より2^x+2^-x＞0よりt＞0で求めてはなぜダメなのですか？

(1) 大阪経大 25x-3・5*-10 ≧0 基本 16616 一の形を導く。その後 三意して進める。 要注意。 変わる。 =(-1/²)* 向きが変わる。 を2にそろえる。 -(2x+2) <2-4(x-1) 大きいから <-4(x-1) =3 から,不等号 うない。 左の解答より は不変。 +2>0 So EX107 基本例題 169 指数関数の最大 最小 関数y=4-24+2+2(x≦2) の最大値と最小値を求めよ。 関数y=6(2x+2-x)-2(4+4¯*) について, 2+2x=t とおくとき,yをtを X 用いて表せ。 また,yの最大値を求めよ。 基本 167 練習 指針 (1) おき換え を利用。 2^=t とおくと,yはtの2次式になるから 2次式は基本形α(tp)+αに直す で解決! なお, 変数のおき換えは,そのとりうる値の範囲に要注意。 (2) まず,X2+Y2=(X+Y)'-2XY を利用して, 4*+4 x を t で表す。 をで表すと,t の2次式になる。 なお, t = 2* + 2 - * の範囲を調べるには,20, 2x>0 に対し, 積2*2*=1 (一定) であるから, (相加平均)≧ (相乗平均) が利用できる。 69 解答 (1) 2*=t とおくとt>Q したがって 0<t≤4 をtの式で表すと y=4(2*)"-4-2*+2=4t°-4t+2=4(t-1/2)+1 ① の範囲において, y は t=4で最大, t= で最小となる。 t=4のとき 2x=4 ゆえに 1/1/2のとき t= ゆえに よって x=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1 (2) 4*+4x=(2x)+(2-x)=(2*+2-x)2-2・2*・2^x=t2-2 v=6t-2(t2-2)=-2t2+6t+4 したがって ① 2*> 0, 2-*>0 であるから(相加平均)≧(相乗平均) より 2x= (*) 2+2-x≧2√2x2 = 2 すなわち ≧2 ここで,等号は 2 = 2x , すなわち x=-x から x=0のとき成り立つ。 ①から ②の範囲において,yはt=2のと き最大値 8をとる。 したがって 2であるから0<t≦22 1 1 2 y=-2t- = -2 (1-2)² + 17 x=0のとき最大値 8 x=2 x=-1 ..... YA 17 2 8 (1) 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 (7) y=(-²)*(-1≤x≤2) 32 t p≤q2P ≤29 50 O 2 2*•2-*=2°=1 * (12/21) 相加平均と相乗平均の関係 a> 0, b>0のとき a+b 2 ≧√ab (等号は α=bのとき成り 立つ。) 265 t=2 となるのは, (*)で等 号が成り立つときである。 [(イ) 大阪産大] (イ) y=4x-2x+2 (-1≦x≦3) > 0, a≠1 とする。 関数y=ax+α-2-2(α*+α-x)+2について, =t とおく y をtを用いて表し, yの最小値を求めよ。 p.272 EX108 5章 29 指数関数 < kć 0

(2)です。④はどこでつかいますか？ あと、A以降の考え方の指針を教えてください。 なぜ余りを(x +1)^2で割ろうと考えれますか

B3 整式 P(x) がある。 P(x) を(x-1)2で割ったときの商はQ(x) であり,余りは -5x-6 である。また, P(x) を (x+1) 2で割ったときの余りは-x+2である。 (1) P(1) の値を求めよ。 また, P(x) を (x-1)(x+1) で割ったときの余りをax+b (a,b は 定数)とするとき, α, 6 の値を求めよ。 (2) P(x) を (x-1)(x+1) 2で割ったときの余りをcx+dx+e(c,d,eは定数)とするとき, c, d, e の値を求めよ。 (3) P(x) を(x-1)(x+1)2で割ったときの余りを求めよ。 (配点20)

（2）で、⑤までは理解出来たのですが、そこから何をやっているのか、なぜそれをしているのかわかりません。教えてください

B3 整式 P(x) がある。 P(x) を(x-1)2で割ったときの商はQ(x) であり, 余りは 5x-6 である。 また, P(x) を (x+1)2で割ったときの余りはx+2である。 (1) P(1) の値を求めよ。 また, P(x) を (x-1)(x+1) で割ったときの余りをax+b (a, 6 は 定数)とするとき, α, 6の値を求めよ。 (2) P(x) を (x-1)(x+1)2で割ったときの余りをcx+dx+e(c, de は定数)とするとき, c, d, e の値を求めよ。 (3) P(x) を(x-1)(x+1) 2で割ったときの余りを求めよ。 (配点20)