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基本例題 244-面積の最大・最小 (1)
点 (1, 2) を通る直線と放物線y=x2 で囲まれる図形の面積をSとする。 So
小値を求めよ。
BでSを表す。
指針点 (12) を通る直線の方程式は, その傾きをmとすると, y=m(x-1)+2と表される
まず, この直線と放物線が異なる2点で交わるとき, 交点のx座標 α,
このとき, 公式(x-a)(x-B) dx= -1/12 (B-α)が利用できる。
更に,S を m の関数で表し,mの2次関数の最小値の問題に帰着させる。
解答
点 (1,2) を通る傾きmの直線の方程式は
y=m(x-1)+2
と表される。
直線 ① と放物線y=x2の共有点のx座標は, 方程式
x2=m(x-1)+2 すなわち x2-mx+m-2=0
の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-m)²-4(m-2)=m²-4m+8= (m-2)^+4
常に D>0 であるから,直線①と放物線 y=x2 は常に異なる
TOANETA
2点で交わる。
その2つの交点のx座標をα, β(α<β) とすると
s=S"{m(x-1)+2-x*}dx=-f(x-mx+m-2)dx
=f'(x-a)(x-B)dx=1/12(B-Q)
-a= m + √D _m=√D = √D = √ (m−2)² +4
2
2
また
したがって, 正の数β-α は, m=2のとき最小で,このとき
(B-α)も最小であり, S の 最小値は 1/12 (14)= 4
3
(B-α)²=(a+B)-4aß=m²-4(m-2)=(m-2)2+4
x=
α
y y=x²
点 (1, 2) を通りx軸に垂
な直線と放物線y=x"で囲
まれる図形はない。よって、
軸に垂直な直線は考えなく
てよい。
(1,2),
α, βは2次方程式
x²-mx+m-2=0の解で
検討 β-αに解と係数の関係を利用
S=1/12 (B-α)において, (B-α)の計算は 解と係数の関係 を使ってもよい。
x2-mx+m-2=0の2つの解をα, βとすると
よって
a+β=m,aß=m-2
D21² s=1 (8-a)²-1(18-a)"}³ = = {({m-2)² + 4)³ 2 1 · 4² = 1/3
4
6
練習
③ 244 きが 2x+mであるという。 放物線y=f(x) と放物線y=-x
図形の面積をSとする。 Sの最小値を求めよ。
|y=m(x-14
S
10 B
mim²-4m+8
2
m²-4m+8=D
mは定数とする。 放物線y=f(x) は原点を通り, 点 (x, f(x)) における接線の
x+4x+5で囲まれ
Op.382 ENTS
