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要 例題 28
格子点の個数
次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(x座標, y)
ある点)の個数を求めよ。 ただし, n は自然数とする。
(1) x≥0, y≥0, x+2y≤2n
HART & SOLUTION
格子点の個数
直線x=k または y=k上の格子点を求め加える
「不等式の表す領域」は数学Ⅱの第3章を参照。
(2) x≥0, y≤n², y=x²
座標がともに整数で
00000
領域は、右の図の赤く塗った三角形の周お
よび内部である。
基本16
0
よって、格子点の総数は
直線 y=k (k=n, n-1, ······, 0) 上には,
-2h+1)個の格子点が並ぶ。 yon
n
月-1
と
A-0
なぜ2つの交点が
(2n-2k+1)=(2n-2.0+1)
yok熱点の座
k
(x-2n-2y)
-2k+2
x=
+(-2k+2n+1)
k=1
具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。
(1) n=1のとき
n=2のとき
n=3のとき
y
y
y
x+2y=2.3
x+2y=2・2
3
-x+2y=2.1
-23
2
-16
-10
x
x
0
4
O
123
56
n=1のとき
1+3=4.
n=2のとき
1+3+5=9,
12
n=3 のとき 1+3+5+7=16
一般 (n) の場合については、境界の直線の方程式x+2y=2nからx=2n2y
よって, 直線 y=k (k=n,n-1, ......, 0) 上には (2n-2k+1) 個の格子点が並ぶから、
(2n-2k+1)において,k=0, 1, ..., nとおいたものの総和が求める個数となる。
(2) n=1のとき
0
-y
n=2のとき
-y
n=1のとき
(1−0+1)+(1-1+1)=3,
n=2のとき
n=3のとき
-9-
.
.
-4
(8--1
O
(4-0+1)+(4-1+1)+(4-4+1)=10,
n=3 のとき (9-0+1)+(9-1+1)+(9-4+1)+(9-9+1)=26
一般(n)の場合については, 直線x=k (k=0, 1, 2,......,n-1, n)上には
( 1)個の格子点が並ぶから、(ガード+1)において、k=0.1
ものの総和が求める個数となる。
の
また、次のような、 図形の対称性などを利用した別解も考えられる。
三角形上の格子点の個数を長方形上の個数の半分とみる。
このとき、対角線上の格子点の
0
12
2n-21 2n
2n-2k 2n-1
=0.12-26+2"
(-2+2)
k=0 の値を別扱いした
が、
=2n+1-2.11n(n+1)+(2n+1)-22-22 +(2n+1)
=n2+2n+1=(n+1)2(個)
線分 x+2y=2n (0≦y≦n)
上の格子点(0, n), (2,n-1),
別解
(20)の個数はn+1
4(0, 0), (2n, 0), (2n, n),
(0, n) を頂点とする長方形の周お
YA
x+2y=2n
n
0
2月
(1)個
よび内部にある格子点の個数は (2n+1) (n+1)
ゆえに、求める格子点の個数を Nとすると
2N-(n+1)=(2n+1) (n+1) ...... (
=-2(n+1)
A-0
39
+(2n+1)(n+1)
でもよい。
(*) 長方形は, 対角線で
2つの合同な三角形に分け
られる。 よって
(求める格子点の数)×2
(対角線上の格子点の数)
=(長方形の周および内
部にある格子点の数)
1=1/2((2n+1)(n+1)+(n+1)=1/2(n+1)(2n+2)=(n+1) (個)
よって N=-
(2)領域は,右の図の赤く塗った部分の周および内部であ
直線x=(k=0, 1, 2,......,n-1, n) 上には,
221) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
k=0
(k+1)=(n2-02+1)+2(n2+1-k)
nとおいた
PRACTICE
k=1
=(n²+1)+(n²+1) 1-k²
=(n²+1)+(n+1)n-n(n+1)(2n+1)
y
n²
n2-1
n2-2
k2
.
k=1 k=1
0
21
別解 長方形の周およ
部にある格子点の個数
(n+1) (n+1)から、
=(n+1)(n+1)-1/n(n+1)(2n+1)
=1/21 (n+1){6(n+1)-z(2n+1)}
= (n+1)(4n²-n+6) (11)
外の個数を引く
