数列{an} (ただしα > 0) について, 関係式
(a1+a2+....+an)=a+a2+......+an
が成り立つとき, an=nであることを証明せよ。
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指針 自然数nの問題であるから,数学的帰納法で証明する。
「n=kのときan=nが成り立つ」と仮定した場合, ak-1=k-1, ak-2=k-2,
が
成り立つことを仮定していないこととなり, n=k+1のときについての次の等式 人が
作れなくなってしまう。
(1+2+......+k+ax+1)=1+2++k+αk+13
A
したがって,n≦kの仮定が必要となる。 そこで,次の [1] [2] を示す数学的帰納法
を利用する。 下の検討も参照。
[1] n=1のとき成り立つ。
[2] n≦kのとき成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つ。
CHART
数学的帰納法 n≦kで成立を仮定する場合あり
[1] n=1のとき,関係式から a2=0.3
解答
よって
a2(a1-1)=0
α > 0から
ゆえに, n=1のとき a =nは成り立つ。
<n=1のときの証明。
a=1
[2]n≦kのとき an=nが成り立つと仮定する。
n=k+1のときについて, 関係式から
3
{(1+2+......+k)+αk+1}=1+2°+....+k+ak+1 ... ①
(①の左辺) = (1+2+... +k)+2(1+2+... +k) ak+1+ak+12
²
={/12k(k+1) +2.1/2k(k+1)ax+x+ax+2
=13+23+......++k (k+1)ak+1+ak+12
①の右辺と比較して
ゆえに
k(k+1)ak+1+ak+12=ak+13
ak+1 (ak+1+k){ak+1-(k+1)}=0
ak+1>0であるから ak+1=k+1
n≦kの仮定。
<n=k+1のときの
証明。
<a=1, a2=2,
ak=k
{ak+12-ak+1
-k(k+1)}
=0
よって, n=k+1のときにも an=nは成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nに対して α = n は成り立つ。
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