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n=2のとき
最後尾が赤のとき, 1両目は何でもよい。
と数学的帰納法
(113)
B1-
最後尾が赤以外のとき, 1両目は赤でないといけない。
解答
n=3のとき
最後尾が赤のとき,2両目は何でもよい.
このとき,1両目の塗り方は n=2のときと同じである。
最後尾が赤以外のとき, 2両目は赤でないといけない.
このとき,最後尾が青のときと黄のときのそれぞれについて, n=2のときの2両
目が赤のときの塗り方だけ1両目の塗り方がある.
このように、最後尾が赤の場合と赤以外の場合で考えてみる.
条件を満たすn両の車両の塗り方の数を am, そのうち最
後尾の車両が赤である塗り方の数を b, 最後尾の車両が赤
以外である塗り方の数を
とする。
すなわち, an=bn+an.......①
ここで(+1) 両目について考える(kは正の整数)
(k+1)両目が赤のとき,k両目は赤,青,黄のいずれでも
よいので,
~
最後尾の車両の色に
注目して考える.
2両目 1両目
赤
赤
C2
赤
青
青黄赤赤
bk+1=bk+ck
M
一方, (+1) 両目が青,黄いずれかのとき,両目は赤で
なければならないので,
Ck+1=26k …③
ここで,b=1,=2とすると, ②
成り立つので,k≧1 として考える.
③はk=1のときも
② ③より
これより,
bk+2=bk+1+26k
bk+2-26k+1=- (bk+1-26k)
bk+2+bk+1=2(6k+1+bk)
赤赤赤青黄
(k+1) 両目 両目
赤6k+1
赤}6
青
黄
Ck
赤}b
Ck+1
赤}6k
x2=x+2 より
(x-2)(x+1)=0
x=2, -1
④より, 数列{bk+1-26k} は初項 b2-2b=3-2=1,
公比-1の等比数列だから,
bk+1-26k=1・(-1)^-'=(-1)^-1
⑥
k≧2 で考えると
⑤より,数列{bk+1+bn} は初項 bz+b=3+1=4,
公比2の等比数列だから,
⑥ ⑦ より
-3b=(-1)-1-2 b=(2+(-1)"}
③より≧2 のとき,
bk+1+bk=4・21=2k+1
したがって、①より = 1/2(22(-1)^)
-{2k+2_(-1)*}
ak
よって、
{2"+(-1)"}
-{2"+2-(-1)*}(通り)(n≧2)
3
Ca=2bs_1=2.13{2"+(-1)^1=1/2(2'+'-2-(-1)^)
b3-2b2
=(3+2)-2・3=-1
bk+1-2bk
=-1・(-1)*-2
=(-1)-1
-(-1)^^'=(-1)^
第
