【複素数平面】共役複素数の性質 ⑴別解の赤マーカー部分がわからないです。 『|z+a|^2,|a|^2は共に実数である』ってあるんですがどーゆことですか？

22 基本 例題 79 共役複素数の性質(2) 定数αは複素数とする。共 00000 (1) 任意の複素数zに対して,zz+az + az は実数であることを示せ [(1)岡山大〕 (2) αz が実数でない複素数 z に対して, az-az は純虚数であることを示せ。 CHART & SOLUTION 複素数の実数,純虚数条件 共役複素数を利用 2 が数 p.417 基本事項 3 基本 78 重要 83 zが純数 ただし,z0 (1) w=zz+az+αz とおいて,w=w を示す。 morujo 24 複素数平 るかが 4点 z=a+ である これか 解答 v=az-az とおいて,v=v かつ v0 を示す。 S-01=sS+sal (1) (1)w=zz+az+αz とする。 両辺の共役複素数を考えると ① となる 複素 z=a Z w=zz+az+az Zi ここで (右辺)=zz+az+az=zz+αz+az =zz+az+αz=w 6+01 したがって, w=w であるから, zz+αz+αz は実数であ 共役複素数の性質を利用。 α, β を複素数とすると α+β=a+β, a=α の る。 0=b (別解 (1までは上と同じ) (z+a)(z+α)=zz+az+az+ad から w=(z+a)(z+α)-a =(z+a)(z+α)-α aa =2+a2-a² || を用いた別解。 0=b+5+ 0=b+00 +wo+ (z+α|aはともに実 したがって,zz+az+αz は実数である。野党数である。 v=az-az とする。 αz が実数ではないから よって azaz azaz ゆえに azaz≠0 az 実数 ⇔ az = az すなわち v≠0 v=azaz の両辺の共役複素数を考えるとv=az-az ここで (右辺)=az-az=-az+az=-v したがって, v=v かつ v≠0 であるから, az-azは 純虚数である。 PRACTICE 79 であるから, αz が実数でない ⇔azaz (1) zz=1 のとき, z+ は実数であることを示せ。 2 [類 琉球大〕 2が実数でない複素数zに対して,(Z)は純虚数であることを示せ。 2

(2)はなぜpについて積分しているのですか？ また、式変形の仕方も教えていただけると嬉しいです🙇‍♂️ まだ積分の範囲を習っていないので基礎的なことを教えて欲しいです

260 断熱変化と等温変化■ 容器の中に1molの単原子 A 分子理想気体が入っている。 この気体の圧力と体積Vを 図のようにゆっくりと変化させる。以下では,気体定数をR T1 B C とする。また,必要ならば,a≦x≦b の範囲で、関数と 0 VA VB Vc V x x軸との間で囲まれる面積は積分 So/1dx=10g 1/2(10geは自然対数)で求まることを 利用してよい。 (1) 図のA→Bの過程のように,気体を体積 VA から VB まで断熱膨張させると,気体の 温度は T から T2 に下がった。 このとき,気体が外部にした仕事を求めよ。 (2)容器を熱源に接触させて,図のA→Cの過程のように,気体の温度を T に保ちなが ら,気体の体積をVA から Vc に膨張させた。 このとき, 気体に外部から加えられる 熱量を求めよ。 [18 琉球大] 255 ヒント 259 衝突前後の運動量の差 (ベクトルで考えた差) が力積に等しい。 260 熱力学第一法則 「4U=Q+W=Q-W'」 (W' : 気体がした仕事) を用いる。 断熱変化で は Q=0, 等温変化では⊿U=0 となる。

黄色く囲ってあるところが理解できません どうやって確率を求めるのですか？？？ 教えてくださいm(_ _)m

94 数学 B 練習 さいころを投げて,1,2の目が出たら0点, 3, 4, 5の目が出たら1点, 6の目が出たら100点 ② 82 を得点とするゲームを考える。 さいころを 80 回投げたときの合計得点を100で割った余りをXとする。このとき,X≦46 と なる確率P(X≦46) を,小数第3位を四捨五入して小売 第2位まで求めよ。 [類 琉球大 ] さいころを80回投げたとき, 1点 100点, 0点を得る回数をそ 84 れぞれx, y, z とすると,合計得点は 1x+100y+0z=x+100y よって,合計得点を100で割った余りはxであるから X=x ←は0以上の整数。 よ すなわち, Xは3,4,5の目が出る回数で 380-r P(X=7) = 80 Cr(3) "(1–3) **¯* (r=0, 1, 2, ..., 80) 6 ゆえに,確率変数Xは二項分布 B(80, 1/12) に従う。 よって, Xの平均は m = 80 • 1/1/14 = =40 ( 標準偏差は 0= =2√√50ress. 0-√80-12-(1-12) -2√5 ←n=80,p=1/2 (2) ゆえに,ZX-40 とおくと, Zは近似的にN(0,1)に従う。 ←n=80は十分大きい。 よって 2√5 P(X≦46)=PZ≦ 10)=P(Z≦1.34) 2√5 46-40 = P(Z≤1.34) =0.5+p(1.34)=0.5+0.4099 ① 二項分布 B(n, p) nが大なら正規分布 N(np, np (1-p))で 近似 ( =0.9099≒0.91

(2) 青い四角のところで、２枚目の写真のように分けてはだめなんですか？bの分母が(x+1)²になる理由が分かりません。

408 基本例 244 定積分と和の極限(1) 基本 次の極限値を求めよ。 (1) lim n-ok n 00000 (1) 琉球大, (2) 岐阜大] (2) limΣ n→∞k=1 (k+n)²(k+2n) p.406 基本事項 ① 重要 246,247, 指針> ∞nk=1 lim ()=S, f(x)dx または lim/2)=Sof(x)dx ∞nk=0 のように, 和の極限を定積分で表す。 その手順は次の通り。 ① 与えられた和 S, において,をくくり出し, Sn=1Tn y y=f(x) n n の形に変形する。 [2] Tmの第項がf(22)の形になるような関数 f(x) を見 つける。 ③3 定積分の形で表す。それには(またはZ) → So ← dxと対応させる。 0 12. k-1 kn-11 * n n 1 →dx xp->> f() f(x), → n 解答 求める極限値をSとする。 n+k\ n+k\3 == n n 母は、常に n よって = n 1 n (+) (1) Slim (n+k) = lim (1 n→∞k=1 n→∞nk=1 =S(1+x)=[12/(1+x)]-322-2 「 □ (2) Slim-2 n→∞nk=1 [0, 1] ここで, (+1)(+2)(x+1)(x+2) a b C -dx (x+1)(x+2)x+1+(x+1 + x+1+(x+1+x+2 とすると α=-1,6=1,c=1 よってs=Sol-x+1+ + x+2)dx (x+1)x+2 (2)[-log(x+1)x+ + log(x+2)] 3 -+log- 4 [参考] 積分区間は, lim 20 11-00 k=1 の形なら, すべて 0≦x≦1で 考えられる。 f(x)=(1+x)/ f(x)=- (x+1)(x+2) 右辺の分数式は,左のよう にして、部分分数に分解 する。 分母を払った 1=α(x+1)(x+2) +(x+2)+c(x+1)2 の両辺の係数が等しいとし て得られる連立方程式を解 また、x=-1,-2,0 など適当な値を代入しても よい。 E

一門でもわかる方教えてください🥲︎4番の(4)、五番の大体の解き方、六番を教えてください🙏優しい方よろしくお願いします🙇🏻‍♀️՞

4 x= 4 3+√5' y=- のとき,次の式の値を求めよ。 3-√5 (1)x2+y2 6 [琉球大] (2)x3+y3 (3)x5+y5 2 戻るように! (4) √x-√y 2 √3-1 の整数部分をa, 小数部分をとする。 このとき, a2+ab+62 と 1 1 の値を求めよ。 a-b-1 a +6+1

区分求積法についての問題です 1枚目はnのくくり出し方が分からなくて(赤線部の部分) 2枚目は②自体がよく分かりません 解説お願いします

282 0 n x/< 2 基本例題 164 定積分と和の極限 次の極限値を求めよ。 n/n+k n4 Ase 指針 hから (1) lim E n→∞k=1 ♡に h= 3 とばす 解答 みにする。 lim ① 与えられた和S, において, とき、②Tの第k項がf- S=Tの形に変形する。 n こ dx または lim 3-S 1が0になっただけー。 のように, 和の極限を定積分で表す。 その手順は次の通り。 YA を見つける｡ ③ 定積分の形で表す。 それには (2) S=lim いて、口をめっちゃ よって S=lim Sw (2) lim Σ n→∞k=1 n-∞0 k=1 n (またはSof() f(x), 1/27 n k=1 と対応させる。 n 求める極限値をSとする｡ (1) (n+k)³=(n+k) ³ - 1 (n+k)³ = 1 (1+2) ³ = n 1からn= 練習 次の極限値を求めよ。 ② 164 れに limimを (1) lim 2 Asin kr 2 n→∞k=n 100 n (n) の形になるような関数 f(x) をくくり出し, - ( 16 547) = √ ( 1 + x) ³ dx = [ 2 (1 + x)³] = ³² n (下にしていく。 1(k+n) (k+2n) 18 √ ( 12 ) = S(x) dx n 3 「だから 1 n-co₂_n k=1 ²² 20 ( 1 ² + 1) ( ^² + 2) ●)ここで、(x+1)(x+2) x+1 + n 1 a ると a=-1,b=1,c=1 14 / 0) 207 S=Sl= x + 1 + (x + 1)² + x + 2]dx 1 1 x+1 (x+1)x+2 面積 部 れを足していく n k 2 (n + k) ¹ = lim ¹ 2 (1+2) ³ n→∞nk=1 1 (1²--20g(x+1) +++ log(x+2) x+1 3 =1/12/+ +log- →dx n? 33/2 3 2 4 1 = = S₁ (x + 1) ² ( x + 2) dx b + (x+1)² x+2 0000 [(1) 琉球大, (2) 岐阜大】 EST p.hou 基本事項 重要 166\ とす y=f(x) M f(x) 0 12. k-1 kd-11* n n n n n <f(x)== n 参考 積分区間は, lim Z〇の形なら、すべて n→∞k=1 0≦x≦1で考えられる。 ◄f(x)=(1+x) ³ kn dx (x+1)(x+2) 右辺の分数式は,左のよ うにして、部分分数に分 解する。分母を払った 1=a(x+1)(x+2) ・+nen +6(x+2)+c(x+1)^ の両辺の係数が等しいと して得られる連立方程式 を解く。 もしくは、 x=-1,-2,0など適当 な値を代入してもよい｡ 1 (2) lim/m/s (eir+2ch+3ei++nek) nn [(2) 岩手大] p.289 EX139

(5)で、私は奥向きの磁場が減少するのを妨げる方向に電流が流れると考え、コイルの電流は反時計回りだと考えました。ですが解説の写真の3行目のように実際はレンツの法則の方を利用して時計回りだったので、どうして自己誘導の考え方だとだめなのか教えてほしいです。

339. 磁場中を動く正方形コイル■ 真空中のxy平面内 y軸に沿って無限に長い導線があり、その導線に電流 Iがy軸の正の向きに流れている。この平面内のx軸のバ↑ 正の部分に、 一辺の長さαの正方形の1巻きコイル ABCD を置く。 コイルの辺CD をx軸と一致させ, コ イルをx軸の正の向きに一定の速さで動かす。 導線と コイルの辺ADの間の距離が1の瞬間を考える。 真空の透磁率をムとし、コイルの自 己誘導は無視できるものとする。 次の各問に答えよ。 y 0 a (4) コイルに生じる誘導起電力の大きさを求めよ。 (5) 電流Iがつくる磁場からコイルが受ける力の向きを求めよ。 D B ac (1) 電流Iがコイルの中心につくる磁束密度の大きさを求めよ。 (2) コイルの辺ADの内部にある電荷e(e>0)の電子が,磁場から受けるローレン リッカのAD方向の成分の大きさ FAD とその向きを求めよ。 (3) 微小時間tの間にコイルを貫く磁束の変化」を辺ADと辺BCが横切る磁束 から求めよ。 ただし、 磁束が紙面の表から裏の向きに増加する向きを正とする。 (琉球大改)

数3積分の問題です。（2）でどうして0≦x≦1の範囲で考え始めているのかわからないです。教えていただきたいです。

304- 一数学ⅡI 練習 自然数nに対して、Infofxdxとする。 V (1) を求めよ。 また, In+In+1 をnで表せ。 1 (2) 不等式 SIS 2(n+1) @233 (1) (3) lim Σ 7110 k=1 HINT ここで k k=1 = [₁ + ₁*² ²1: n+1 x²+1 したがって 4₁ = S'² ₁ + x dx = S² ( 1 - 1 + x) dx =[x-log(1+x)]=1-log2 [+RVS="" " [XVS] = In +In+1 So ²x6 ² +² = S₁ ( ₁ ² ² + + + + + + + ) dx = S² x ² xn 1+x 1+x dx 1 (2) 0≦x≦1のとき, 1⁄/s; 1+x (3) (1) (2) の結果とはさみうちの原理を利用。 1 1+x =log2 が成り立つことを示せ。 n+1 (2) 0≦x≦1のとき よって ゆえに xn tot S="dx=S² + + dx = Sx よって ol+x =1 (3) (1)より,1=log2+L1, (-1) ²-1 k ≤1 が成り立つことを示せ。 1≤1+x≤2 lim- n→∞ 1 n+1 n+1 ―≦1から S₁²=²=dx=2(n+1) · S₁x³dx= n²+1 1 ≤In≤ 2(n+1) 1 1 + 2 3 (2) において よって, limIn=0であるから n→∞ n+1 1 4 dx lim (-1)*-1 n→∞ k=1 k xn 2 + =lim 1 n→∞ n+1 =In+In+1 であるから (-1)-1 n xn 2 = (log2+1₁)-(I1+I2)+(I2+I3)−(13+14) ++ (−1)n-¹ (In−1+In) = log2+(-1)"-¹ In 1 2(n+1) -= log2 xn 1+x ・+ =0 xn 1+x = ≤x" ← x (1+x)-1 1+x 1+x ← [類 琉球大〕 x^(1+x) 1+x =x² ←x²≥0 MERE n+1 ← S₁ x² dx = [X + 1] ₁ す。 n+1 ← 2 (-1) ²-¹ k=1 をInで表 CS-I+x\S ←はさみうちの原理。

(2)の解答の丸をしているところの変形はどのようにしているのでしょうか。

次の極限値を求めよ。 n+k 4 (1) lim n- 指針> n n+k 1 2 ƒ ( 1²2 ) = S( f(x) dx lim n→∞ n k=1 m 1 2 ƒ( k ) = S'ƒ(x) dx ‡ † lim n k=0 n のように, 和の極限を定積分で表す。 その手順は次の通り。 ① 与えられた和Sにおいて,をくくり出し, Sn=Tn n の形に変形する。 2 T”の第k項が f (n) の形になるような関数 f(x) を見 つける。 ③3 定積分の形で表す。それには(または ƒ(k) → ƒ(x), dx と対応させる。 n !!! (2) S=lim-2 n→∞nk=1 ここで, 解答 求める極限値をSとする。 (1) (+)¹-(+)²-¹(^+^) ³ - -/- (₁ + ^ ) * n+k\3 = n n = 1/n+k n nn n+k\ n *ot S-lim2 (+)¹-lim-¹(1+4)* よって n→∞k=1 n→∞nk=1 =f'(1+x)dx=[1/(1+x)-3/2 (R ² + 1)² ( 12+ + 2)) n n n よってS=Sof-x+1 (2) lim E- a + n→∞0 k=1 (k+n)² (k+2n) p.406 基本事項 ① = a=-1,b=1,c=1 k n b (x+1)(x+2)x+1 (x+1)^2+x+2 とすると nº (x+1)x+2 (x+1)(x+2)dx + x + 2 }dx 3 4 -[-log(x+1)=x+₁ +log(x+2)] =1/12/2+10g 2014 +log- [(1)琉球大,(2)岐阜大] YA 0 12k-148111 So, 重要 246,247 M f(x) n n y=f(x) n n 1 n <f(x)=(1+x) / n →dx [参考] 積分区間は, lim 20 n→∞k=1 の形なら すべて 0≦x≦1で 考えられる。 2-TAKS> f(x)= (x+1)^(x+2) 右辺の分数式は,左のよう にして、部分分数に分解 する。 分母を払った 1=a(x+1)(x+2) +b(x+2)+c(x+1)^ の両辺の係数が等しいとし て得られる連立方程式を解 く。 または, x=-1,-2,0 など適当な値を代入しても よい｡ L 求

演習β 第16回 4(1) マーカー部分で、なぜS2が1＋a2になるんですか？

4 [2011 琉球大] 数列{an}の初項から第n項までの和S” は次の条件を満たすとする。 S1=1, S„+1-3S„=2"+1−1 (n=1, 2, 3, ......) (1) 数列{an}の満たす漸化式を求めよ。 (2) bn = an とおくとき, 数列{bn}の一般項を求めよ。 2" (3) 100 を4で割ったときの余りを求めよ。 a 解答 (1) a1=S=1 ...….. ① Sn+1-3S„=2n+1−1 ②にn=1 を代入すると S2-3S1=3 ゆえに (1+a2)-3=3 よって a2=5 また, ">2のとき、②から S-3S-1=2"-1 ②④ から (Sn+1−Sn)-3(Sn-Sm_1)=2n+1−2" ゆえに ax+1-34万 2.2"-2"=an すなわち =2^(2,-1)=2m ①,③より, この式はn=1のときも成り立つ。 よって, 求める漸化式は an+1-3an=2" ..... ④4④ an+1-3an=2"