実力アップ問題 137
難易度
CHECK 1
CHECK2
和が406 で,最小公倍数が2660 である2つの正の整数a,b (a <b)を
CHECK 3
求めよ。
(弘前大
ヒント! aとbの最大公約数を g,最小公倍数をL とおくと,a=a'g,
b=b'g, L=a'b'g (a'とは互いに素)が成り立つ。ここで,ポイントは、
aとbが互いに素ならば,a' + b'と'b'も互いに素となることなんだね
頑張ろう!
ga.
2つの正の整数a,b の最大公約数をg, と等しい。よって,これをユークリッ
ドの互除法により求めると,
最小公倍数をL とおくと,
なんで和が
2660=406×6+224
mw
…① L=a'b'g
はいるの?
La=a'g
|b=b'g
が成り立つ。よって①,②より
[ a+b= (a'+ b')g = 406 …
|L=a'b'g=2660
406 = 224 × 1 + 182
www
224 = 182 × 1 + 42
www
182= 42 × 4 + 14
42 = 14×3 + 0 より,
ただし,α′ と b'は互いに素な正の整
数より,a' + b'a'b' も互いに素で
ある。
最大公約数g
最大公約数 g = 14 となるので ③ ④
の両辺を g で割ると,
もし,a' + b' と 'b' が、 1以外の素数
pを公約数としてもつものとすると,
a'+ b'=29 (10+19)
a'b'=190
...3'
(= 10×19) ......'
Ja+b=mp
a'b' = np
となり,
実力アップ問題136で示した通り, a
と6' は,p を公約数にもつので、矛盾
する。
また, a' + b' と a'b' が1以外の合成数
(たとえば、pg やなど...)をもっ
したとしても同様に矛盾が導ける。
よって、③、④より, aとbの最大公
数g は, 2660 と 406 の最大公約数
ここで, a<bより,α′ <b'
よって,③', ④' より α' = 10,6′=19
以上を① に代入して、求める a, b の
値は次のようになる。
a=10×14=140
b=19×14=266
･･(答)
