1＞1の部分で2つの交点を持つ時の条件についてです。 頂点のy座標≦0というのは判別式D≧0と同じという考え方で大丈夫ですか？ほかの問題でも頂点のy座標で場合分けすることはありますか？

視点 y座標 2次方程式の解の判別) f(x)=ax+bx+c =D? (頂点の座≦) f(1) 70 軸のx座標)>1 (式) f(x)=0が1より大きい解もふくむ 2つの解をもつ X 図形 I y=f(x)のグラフがx軸と xフの部分で2つの交点をもつ。 接する場合もふくむ

これはk≠0でさらにkが0より大きいときと小さいときで場合分けしなくて良いのでしょうか？

これを解いて t= -1±√12-3-2 =-1±√5i 3 3 D<0 すなわち 2 <kのとき, 異なる2つの虚 数解をもつ。 [1], [2] をまとめて +2=1/5i であるからx=-754 3 別解 左辺を展開して整理すると x=-7±√5i 3 k=0のとき k<00k<2のとき 異なる2つの実数解; 1つの実数解; 401 3x2+14x+18=0 これを解いて -7±√72-3.18 x=- 3 2007 k=2のとき 重解; 2kのとき 異なる2つの虚数解 -7±√√5i 3 (3) 両辺に √2+1 を掛けると よって x2+(2+√2)x+ ( √2 + 1) = 0 +(-(2+√2)±√√(2+√2 )² − 4 · 1 · (√2 +1) x= -2-√√2±√2 2 2 ゆえに x=-1,-1-2 別解左辺を因数分解すると (x+1){(√2-1)x+1}= 0 よって x=-1, 1 √2-1 すなわち x=-1, -1-√2 (4) x=- 97 -(-1)+√(−1)-1(6+2√6) 1 =1±√-5-2√6=1±√5+2/6 (3) =1±√(3+2)+2/3.2 i = 1± (√3+√2)i ■■■指針■■ x2の係数が文字であるから, 与えられた方程式 は2次方程式とは限らない。 → (x2の係数)=0と(x2の係数) ≠0で場合分 けして考える。 ...... ①とおく。 kx2+4x+2=0 [1] k=0のとき ①は 4x+2=0 よって,①は1つの実数解 x=-- [2] k≠0のとき 一1/2をも をもつ。 ①は2次方程式であり、 その判別式をDとす D ると =22-k.2=2(2-k) 4 D>0 すなわち k <0,0<k<2のとき,異な る2つの実数解をもつ。 D=0 すなわち k=2のとき, 重解をもつ。 98 x2+ax+a+3=0 ...... ① 30x2ax+4=0 ...... ② とおく。 2次方程式 ① の判別式を D1, 2次方程式 ②の 判別式を D2 とすると D₁=a2-4-1 (a+3)= a²-4a-12 =(a+2Xa-6) -D₂=(-a)²-4.1.4=a²–16 =(a+4)α-4) ① ② がともに虚数解をもつのは, D10 かつ D< 0 が成り立つときである。 D<0 から よって D<0 から (a+2)(a-6) < 0 -2<a<6 ... ③ (a+4) (a-4) < 0 よって --4<a<4 ③と④の共通範囲を求めて -2<a<4 99 x2 +2ax+α+2= 0 ...... ① ④ x2-4x+a+3= 0 ...... ② とおく。 2次方程式 ①の判別式を D1, 2次方程式②の 判別式を D2 とすると D1 4 -=a²−1·(a+2)=a2-a-2=(a+1Xa- D=(-2)-1-(a+3)=1-a (1) ①,② の少なくとも一方が虚数解をもつの D<0 または D2<0が成り立つときである D<0から よって D<0 から (a+1) (a−2) <0 -1<a<2 1-a<0 よって+ α>1 ③と④の範囲を合わせて ...... ③ a>-1 L -401 -1 1 2 a

(ィ)の答えについて。 k≦1/4または2≦k でも大丈夫ですか？ カンマは何を意味しますか？

基本 例題 93 連立不等式の応用 (解の判別) 2次方程式 x2+x+k=0, x2+kx+1=0 がともに実数解をもつようなkの 値の範囲は ?,少なくとも一方が実数解をもつようなkの値の範囲は |である。 CHART O 満たすグラフをかく SOLUTION 2次方程式の解の判別 実数解をもつ D≧0 2つの2次方程式の判別式を順にD1, D2 とすると (ア)ともに実数解をもつ→ D10 かつD2≧0 → Di≧0とD2≧0 の共通範囲 ……! (イ) 少なくとも一方が実数解をもつー D≧0 または D2≧0 → → D≧0とD2≧0 を合わせた範囲 |基本 76,91 3章 ・ ①, x2+kx+1=0 解答 2次方程式 x2+x+k=0. 判別式をそれぞれ D1, D2 とすると D=1-4k, D2=k2-4=(k+2) (-2) (ア)①,②がともに実数解をもつための条件は D1≧0 かつ D2≧ D1≧0 から 1-4000( ②の 2次方程式が2つある 場合,判別式をD1, D2 として区別する。 よって ③ 4 D2≧0 から (k+2)(k-2)≥0 ③④(共通部分) 別解 (イ) ①,②がともに 実数解をもたない条件は ~ よって k≦-2,2≦k... ④ Di < 0 かつ D2 <0 ゆえに k≤-2 をもつための条件は ③と④の共通範囲を求めて (イ) ①,②の少なくとも一方が実数解 D≧0 または D2≧0 ③と④の範囲を合わせて k≤ 11, 2≤k -2 1 2 k k> かつ-2<k<2 4 [s] さいときから 1/4 <k<2 @ う一度図にしてよって, A の範囲以外,す ③U④ (和集合) ① 4b5 k≤½, 2≤k 45 ? ③ ときの2 1 4 2 k ば①②の少なくとも一 方は実数解をもつ。 (S) Jei 11

39.2 k=-9のときは①は虚数解を持ち②は虚数解を持たない k=4のときは①は虚数解を持たないが②は虚数解を持つ から<ではなくて≦であるということですか？？

基本事項 号だけ ないが, 0. では 用する 基本/例題 39 2つの2次方程式の解の判別 kは定数とする。 次の2つの2次方程式 x2-kx+k2-3k=0 ①, (k+8)x²-6x+k=0 について,次の条件を満たすんの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) ①,②のうち、少なくとも一方が虚数解をもつ。 (2) ①,②のうち,一方だけが虚数解をもつ。 3=0 指針 解答 部分は, ② の2次の係数は0でないから k+8≠0 すなわちんキー 8 -, (k+2 このとき, ①, ② の判別式をそれぞれD1, D2 とすると D=(-k)²-4(k²-3k) = -3k²+12k=-3k(k-4) 【CHART 連立不等式 解のまとめは数直線 ② については、 2次方程式であるから,x2の係数について, k+8=0 に注意。 ①,②の判別式をそれぞれD, D2 とすると, 求める条件は (1) D1 <0 または D2<0解を合わせた範囲 (和集合) (2) (D1 <0 かつD2≧0) または (D1≧0かつD2<0) であるが, 数学Ⅰでも学習したように, Di<0, D2<0の一方だけが成り立つ 範囲を求めた方が早い。 改訂版チャート式基礎からの数学I + A p. 184 参照。 D2 D² = ( − 3)² – (k+8)k= −k²—8k+9= −(k+9)(k—1) (1) 求める条件は、んキー8のもとで D'<0 または D2<012-46-03 ゆえに<0,4<k D1 <0から k (4)>0 kキー8であるから k <-8, -8<k <0, 4 <k - 4в (1918- (3) (k+9)(k−1)>0 D₂ <0 725 よって k<-9,1<k (4) 求めるkの値の範囲は、③と④の範囲を合わせてき k<-8, -8<k<0, 1<k (2) ①,②の一方だけが虚数解をもつための条件は、 D1 <0, D2<0の一方だけが成り立つことである。 ゆえに,③,④の一方だけが成り立つの範囲を求 -9≤k<-8, -8<k<0, 1<k≤4 めて 2次方程式x2+4ax+5-a=0 練習 ③39の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。 (1) ①② がどちらも実数解をもたない。 の方だけが虚数解をもつ -9-8 ①, x2+3x+3a² = 0 00000 普通,2次方程式 ax2+bx+c=0というとき は、特に断りがない限り, 2 次の係数 αは0でないと 考える。 -9-8 基本38 vo 3 01 4 k 01 4 k ② について,次 [久留米大] 69 2 8 2次方程式の解と判別式

D<0のときって数Ⅰでは「実数解を持たない」 と習ったような気がしたのですが、 「実数解をもたない」なのか「2つの虚数解を持つ」なのかは どうやって判断すれば良いのでしょうか？？

68 基本例題 38 2次方程式の解の判別 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, kは定数とする。 (1) 3x²-5x+3=0 (2) 2x²-(k+2)x+k-1=0 (3) x2+2(k-1)x-k²+4k-3=0 pp.66 基本事項 指針 2次方程式 ax2+bx+c=0の解の種類は,解を求めなくても、判別式 D の符号だけで 別できる。 2次方程式の解の判別 [D>異なる2つの実数解 D=0⇔重解重解はx=- 解答 与えられた2次方程式の判別式をDとすると (1) D=(-5)-4・3・3=-11<0 よって異なる2つの虚数解をもつ。 (2) _D={-(k+2)}²−4•2(k-1)=k²+4k+4-8(k-1) D<0⇔ 異なる2つの虚数解 (2),(3) 文字係数の2次方程式の場合も,解の種類の判別方針は, (1) と変わらないが, がんの2次式で表され,kの値による場合分けが必要となることがある。 =k²-4k+12=(k-2)+8 ゆえに,すべての実数んについて D>0 よって、 異なる2つの実数解をもつ。 (3) =(k-1)²-1·(−k²+4k-3)=2k²-6k+4____ =2(k²-3k+2)=2(k-1)(k-2) よって, 方程式の解は次のようになる。 D0 すなわち k<1,2くんのとき 異なる2つの実数解 D = 0 すなわち k=1,2のとき 重解 D< 0 すなわち 1 <k<2のとき 異なる2つの虚数解 ・D<0- 一D>O¬ 2 b 2a ・D> 0 - 00000 •S•)—²a\±¿— TUS 01 CON {-(k+2)}^の部分は, (-1)' = 1 なので、 (+2)^ と書いてもよい。 ax2+26'x+c=0 では a=b"-ac を利用する。 D α<βのとき (x-α)(x-B)>0 ⇒x<a, B<x α<βのとき (x-α)(x-B) <0 ⇔a<x<B

(2)なんですけど、-9と4も範囲に入る理由がわからないです💦

74 基本例題 41 2つの2次方程式の解の判別 kは定数とする。 次の2つの2次方程式が印 x2-kx+k2-3k=0 ①,(n+8x2-6x+k=0 について、次の条件を満たすんの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) ①, ② のうち, 少なくとも一方が虚数解をもつ。 ⑧ (2) ①,②のうち,一方だけが虚数解をもつ。 指針 解答 ②については, 2次方程式であるから, x2の係数について, k+80 に注意 ①,②の判別式をそれぞれ D1, D2 とすると, 求める条件は (1) D1 <0 または D2<0 → 解を合わせた範囲(和集合) (2) (D1 <0 かつD2≧0) または (D1≧0かつD2<0) であるが, 数学Ⅰでも学習した うに, D1 <0, D2<0 の 一方だけが成り立つ 範囲を求めた方が早い。 チャート式基礎からの数学I+Ap.200 参照。 CHART 連立不等式 解のまとめは数直線 D₂ = (-3)²-(k+8)k=−k²—8k+9 8+ (S-4)=SI+ 4 JUCHOT ax2+bx+c=0と うときは、特に断り ②の2次の係数は0でないから k+8=0 すなわち kキー8 普通 2次方程式 ない限り、2次の aは0でないと考え このとき①②の判別式をそれぞれ D1,D2 とすると る。 „5 D₁=(−k)²—4(k²—3k)=−3k²+12k=−3k(k—4) 0<a =−(k+9)(k−1) 1)x+(√JUMOS (1) 求める条件は, kキー8のもとで D1 <0 または D2<0 D₁ <05 k(k−4)>0 キー8であるから Wžk_k<0, 4<kS+AB-5)= k<-8, -8<k<0, 4<k...... 31-40</ D2 < 0 から (k+9)(k-1)>0 よって ん<-9,1<k. 4 30$ I=s-9-8 求めるんの値の範囲は、③と④の範囲を合わ せて 実 ...... 重要 の方程式 ( めよ。 ただ 指針 (2) ①,②の一方だけが虚数解をもつための条件 は, D1<0, D2<0 の一方だけが成り立つことで ある｡ て考える-9-8 ゆえに, ③,④の一方だけが成り立つんの範囲 実数とし を求めて -9≦k<-8, -8<k<0, 1<k≦4 0 k<-8, -8<k<0, 1<k3@£>>IF 0X0 具 例題 001 41 201 解答 実数 係数 J 12 方 i a

数学II 複素数と方程式　2次方程式の解の判別の問題です。 (2)についてですが、kは定数としか書かれていないのに勝手にkは実数として考えて良いのでしょうか。 kが虚数だったとしたら、判別式も使えないのではないのですか？　　 低レベルな質問で申し訳ないのですが、モヤモヤが... 続きを読む

次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし,kは定数とする。 (2) 2x²-(k+2)x+k-1=0 718 p.71 基本事 ZA

これって方程式の実数解をαと置く必要ってあるのですか？

住工 xの方程式 (1+i)x2+(k+i)x+3+3ki=0 が実数解をもつように,実数k の値を定めよ。 また, その実数解を求めよ。 ③ 基本38 CHART & SOLUTION DIE (x-2)x=(8+x)(1+z) (C) 2次方程式の解の判別 OX.AE 判別式は係数が実数のときに限る から求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。 実数解をαとすると (1+i)a²+(k+i)a+3+3ki=0 この左辺をa+bi (a,b は実数) の形に変形すれば, 複素数の相等により a=06=0 α, kの連立方程式が得られる。・････ ① ! ← 解答 方程式の実数解をα とすると 整理して (1+i)a²+(k+i)a+3+3ki = 0 (a²+ka+3)+(a²+a+3k) i=0 J HL 26 x=α を代入する。 a+bi=0 の形に整理。 キーマ

この問題で線が引いてあるところはなぜ1と9ではないのですか？0になる理由を教えて欲しいです。 よろしくお願いします☀️

例題 17 2次方程式の解の判別 ん を実数の定数とするとき, xについての方程式 kx2+(k-3)x+1=0 の解 を判別せよ。 考え方 解 2次方程式の解の判別には, 判別式を利用する。 ただし,x2の係数が0のとき, この方程式は1次方程式になることに注意する。 (i) k = 0 のとき, この方程式は1次方程式 -3x+1=0 となり, よって、 1つの実数解をもつ。 (i) k=0 のとき, この方程式は2次方程式であるから, その判別式をDとする と, 3 21 D=(k-3)2-4・k・1=k-10k+9=(k-1)(k-9) D> 0, すなわち、k<0.0<k<1,9<k のとき、 異なる2つの実数解をもつ。 D = 0, すなわち, k=1,9のとき, 重解をもつ｡ D< 0, すなわち, 1<k<9のとき, 異なる2つの虚数解をもつ。

⑵と⑶について質問です。 kの値による場合分けをする必要があるときとないときの違いがわからないので教えてください。

場合 代入 - 1 る。 整数 i 理数 なお, もの 基本例題 40 2次方程式の解の判別 KATABLADO 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, kは定数とする。 (1) 3x²-5x+3=0 (2) 2x²-(k+2)x+k-1=0 (3) x2+2(k-1)x-k+4k-3=0 /p.71 基本事項 2 2次方程式 ax2+bx+c=0の解の種類は,解を求めなくても、判別式 D の符号だけ で判別できる。 2次方程式の解の判別 DO異なる2つの実数解 b D=0⇔重 解 重解はx=- -za) 2a D< 0 ⇔ 異なる2つの虚数解 (2),(3) 文字係数の2次方程式の場合も,解の種類の判別方針は, (1) と変わらないが, Dがんの2次式で表され,kの値による場合分けが必要となることがある。 与えられた2次方程式の判別式をDとすると 解答(1) D=(-5)-4・3・3=-11<0 よって, 異なる2つの虚数解をもつ。 (2) D={-(k+2)}^-4・2(k-1) =k+4k+4-8(k-1) =k²-4k+12=(k-2)^+8 ゆえに, すべての実数んについて よって異なる2つの実数解をもつ。 (3) 2=(k-1)^-1・(-k²+4k-3)=2k²-6k+4 =2(k²-3k+2)=2(k-1)(k-2) よって, 方程式の解は次のようになる。 D0 すなわち k<1,2くんのとき 異なる2つの実数解 D = 0 すなわち k=1, 2 のとき 重解 D< 0 すなわち 1 <k<2のとき 異なる2つの虚数解 -D<0- √ DOV 2 -DX01 (4) x²-(k-3)x+k²+4=0 カフェ {-(+2)}^の部分は, D>0 ・D > 0 - k 08- (-1)' =1なので, (+2)2 と書いてもよい。 ax²+2b'x+c=0 では D 12c を利用する。 (5) x²-(k-2)x+ 4 α<βのとき (x-a)(x-B)>0 ⇔x<a, B<x 練習 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, kは定数とする。 ②40 (1) x23x+1=0 (2) 4x²-12x+9=0 k 2 α<βのとき (x-a)(x-β)<0 ⇔α<x<B (3) -13x2+12x-3=0 E +5=0 2章 2 ⑧ 2次方程式の解と判別式