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解答編 (問題A,B)
221 三角関数と式の値
私立大標準レベル
三角関数の方程式を満たす角度と式の値の最小値
-1 sina ≤1, -1≤sin 28 ≤15 sina,
sin 2β の値を求める。 絶対値が最小になるのは,
中の式の値が0に最も近いときである。
-1 sina ≤1, -1sin 28 ≤15
三角関数の方程式
(ア) 1種類の三角関数に直す。
(イ)積= 0 の形にする。
三角関数の不等式
151
出題テーマと考え方
31 三角関数 (1)
基本問題&解法のポイント
77 次の方程式, 不等式を解け。
(1)
(2)
X 0<0<2m のとき, sin20>cos0
78
関数 y=2cos20-4sin0+cos20-2
1
32+ sina 1, 32+ sin 28 ≤1
=2のとき
71
数と式の値
数の等式証明
出題テーマと考え方
定理や加法定理などを利用して,
jal.(右)=k となることを示す。
すると
cosacosβ+cos2
+2sinasin β + sinf=
+costa)+2(cosa cos8+ sin a sin 8)
jsina + sin β=1の両辺をそ
12+ sina ≤3, 1≤2+ sin 28≤3
...... ①
よって
10
...... ②
1
9
ゆえに
1
2+ sin a
2+ sin 28
1
1,
2+ sin a
=1
2+ sin 28
13
+(sin'β + cos2β)=
よって
36
909
AD+CE
ゆえに,
13
2+2cosacos β + sin a sin β)=
36
3
59
AS
cosacosβ + sinasinβ=
3
72
よって
cos(a-3)=- 72
59 00+800+ heap
ゆえに
|a+3-8x=
= cos'x-1)+(2cos2y-1)
200sr+cos*y−1)
cosxcosy-sinxsiny)
3
sina-1, sin 28=-1
nを整数とすると
m,
a=1+2mz, 28=1/2x+2
a=1+2mz, β=n
+(2m+n-8)
|α+β-8z| は2m+n-8-2で最小値をとる。
442 mHO
cos 20+ cos0+1=0
のとき,
のとき,2sin20≧3cos0+3
(0≦2x) の最大値と最小値を求めよ。 また,
そのときの0の値を求めよ。
ス
(ア) 方程式と同じ要領で変形。
(イ)区間に注意して範囲決定。
三角関数の最大・最小
1種類の三角関数に直し
例題
△ABC
29
る。 ta
(1) t
(3) 1
指針 かくれた
解答 (1) B+
(2) A<
よっ
ゆえ
よっ
数の最大・最小に帰着させる。
した
(3)t
218 * (1) 0≦x<2πのとき, 不等式 2 sinx+2cosx+√2 sin2x+1≦0 の
を求めよ。
す
[23 福岡)
(2) sin20=cos30 のとき, sin0 の値を求めよ。 ただし, 00πとする。
[23 東京都市大]
*219kを正の実数とし,0≦とする。2次方程式 8x2-12kx+3k+8=00
2つの解が sin+2cosd, 2sin+cos0 であるとき,kの値を求めよ。 また、
そのときの sin, cose の値を求めよ。
X (cosxcosy+ sin xsiny)
cosxcosy)- (sinxsin y) 2}
sxcos²y-sin2x sin² y)
ms' rcos'y-(1-cos2x) (1-cos2y)}
msfrcos2y-1+ cos2x+cos'y
222 加法定理の利用
[ 類 17 首都大東京]
O* 223
09
私立大標準レベル
出題テーマと考え方
(1)
正角形の面積
→
n個に分割された合同な三角形の1つの面積を
求めて, それを倍する。
220 cosa+cosβ=
1
2'
sina+sinβ=
3=1/23 のとき,次の問いに答えよ。
(2)
GHADA
-cos²xcos² y)
++cos²y-1)
sin-
■ = (右辺)
=28=2cos(a+β)cos(a-β)
すると
28=cos(a+β)
)+2(cosacos β-sin a sinβ)
+(cos2β- sin'β)=
= sin
12
RE ASS
=
③
COS
12
=COS
cos
5
36
1
+
√3 1
1√6+√2
+ cos2β +2cos(a+b)=
5
2
2
√2
4
36
sin 0
5
= cos(a+β)+2cos(a+β)=
s(a+3)=-
=
+8)=
13
36
5
また
tan0sin20=
•2sino cos 0
COS
36
1-cos 20
=2sin'0=2.
2
√2
12
= COS
4
sincos cosasino
1
-
2 √√2
18458
√6-√2
+ sin sin 4
4
RE ESS
(1) cos(α-β) の値を求めよ。
(2) 一般に, cos2x+cos2y=2cos(x+y)cos (x-y) が成り立つことを示せ。
cos(α+β) の値を求めよ。
(3)
[和歌山大
*225
(
ア
1
=
1
221
1
+
2+sina
2+sin2β
5=2のとき, |α+B-8 の最小値を求めよ。
[20 早稲田大]
= "1-cos20
2
tansin=1-cos-
π πC
*222
3
4
=
12
であるから, sin 12
π
COS = である。
12
tand sin 20 を cos 20 の式で表すと, tanosin20=であり、8=mとす
ると tanである。また,半径1の円に外接する正二十四角形の国
はである。
2
