Question

きいろ

(2)の解き方がわかりません。解説お願いします。
また、逆関数にしたくてもできない時に、置換積分をする理由を教えて下さい。

基本 例題 178 曲線x=g(y) とy軸の間の面積
次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(1) y=elogx, y=-1, y=2e, y 軸
0000
(2) y=-cosx (0≤x≤n), y=
x=1/2
1
y=-
y軸
2
p.300 基本事項 3 重要 184-
指針 まず、曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との共有点を
調べる。
(1) y=elogx をxについて解き, yで積分するとよい。
y
x=g(y)
d
.....xについての積分で面積を求めるよりも, 計算がらくに
なる。
常に
g(y)≥0
C
(2)(1) と同じように考えても, 高校数学の範囲ではy=-cosx
を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。
(1,2) ともに別解 のような, 長方形の面積から引く方
s=$g(y)dy
法でもよい。
(1) の別解 (長方形の面積
x=ex から引く方法)
S=e2(2e+1)
(1) y=elogx から
x=ee
JA
答
よって
-1≦x≦2eで常に x>0
2e
S=Seedy=[ee]
=e•e-e.e-c
e2.
2el
S
12e
e2
=2e3+e²
7-12-2
(2)y=-cosx から dy=sinxdx
よって
S=Sª‚xdy=S*=*
3
xsinxdx
=-x
x COS x
1
+
3
π
cosxdx
=-27 ·(-1)+ 1.1/1
π
π
+
+0=
3
TC
2
3
2
+sinx|
2-3 3
12
-1
2e+1
2
ya
y
1 1
2、
0
8
S
-
π
3.
3
12
→
→
1223
π
y=COSA
123
122
12
π
-(elogx+1)dx
-[e(xl0gx-x)+x]
=e³-e¹-
(2)の別解 (上と同じ方法)
S=11x · (+1)
-S
2
-cosx+
1/2)dx
x+sinx−2x]
π
2
x
半の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
1
fich

Answer 1

🍇こつぶ🐡

cos,sinの逆関数はarc三角関数であり、高校では習わないので、
逆関数にしたくてもできません。だから、置換積分します🙇

きいろ

なぜ置換積分をすると、逆関数にすることと同じことになるのでしょうか。

🍇こつぶ🐡

置換積分を使うことで、逆関数 x ＝ g(y) の具体的な数式を求めなくても、「逆関数を yで積分した結果」と全く同じ計算を x の積分として実行できるから🙇