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第2章 式と曲線
52次曲線と直線
2次曲線と直線の共有点
応用
例題
A
kは定数とする。次の楕円と直線の共有点の個数を調べよ。
4
2
例題
x°+4y°= 20, y=x+k
5
十x)
ソ=x+k
解答
x°+4y?= 20
の
5
解答
5
y=x+k
0.(-/15
k
2/5
のをのに代入すると
x+4(x+k)°=D20
x
-2/5,
t
整理すると
-5
10
5x°+8kx+4k-20=0
10
3
*の2次方程式③の判別式をDとすると
曲駅
D
= (4k)?-5(4k-20) = -4(k+5)(k-5)
4
15
よって,楕円のと直線②の共有点の個数は,次のようになる。
D>0 すなわち -5<k<5 のとき
15
2個
D=0 すなわち k=±5 のとき
1個
D<0 すなわち k<-5, 5<k のとき
0個
例題4において, k=±5 のとき, 2次方程式③の解は重解となり,
楕円と直線は共有点をただ1つもつ。このとき, 楕円と直線は 接する
といい,その直線を楕円の 接線,共有点を接点 という。
20
一般に,2次曲線と直線の方程式から1文字を消去して得られる2次
方程式の実数解の個数と, 2次曲線と直線の共有点の個数は一致する。
練習
kは定数とする。双曲線 x°-2y° =4 と直線 y=x+k の共有点の
16
個数を調べよ。
の