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直線と平面の交点、直線と球面が接する条件
演習 例題 82
(1) (2, 4,
k)に平行な直
平面α: 2x+3y-z=16との交点の座標を求めよ。
(2) k>0とする。 点(-3, -1, 0) を通り, ベクトル (1,1,
m が 点 (0, 2, 3) を中心とする半径3の球面に接するように、 定数kの値を
定め、 接点の座標を求めよ。
直線上の点の座標に関する問題 媒介変数表示利用
指針
指針 前ページと同様に、
て考える。 媒介変数で表した後は, それを (1) 平面の方程式 (2) 球面の方程式に代入
て, 媒介変数t の方程式の問題にもち込む。
解答
■直線l上の点を媒介変数
(1) l の方程式は (x,y,z)=(2,4, -1)+t(3,-1, 2) から
x=2+3t, y=4-t, z= -1+2t (t は実数)
tを用いて表す。
これらを2x+3y-z=16 に代入して
2(2+3t)+3(4-t)−(−1+2t)=16
よって
t=-1
x=2+3 (-1), y=4-(-1),
(-1, 5, -3)
ゆえに, 求める交点の座標は
z=−1+2 (-1)
(2) m の方程式は
(x,y,z)=(-3,-1,0)+t(1,1k) から
(1)
直線m 上の点を媒介変数
tを用いて表す。
また, 球面の方程式は
x²+(y−2)²+(z−—3)²=9
① を代入すると
(−3+t)²+(−3+t)²+(kt−3)²=9
......
よって
(k2+2)t2-6(k+2)t+18=0
2
FI
/直線が球面に接する条件は、 2次方程式②の判別式Dに
k²+2+0
ついて
D=0
ここで
P={-3(k+2)^-18(k²+2)
=-9k2+36k=-9k(k-4)
D = 0 から k=0, 4
k>0であるから k=4
このとき ② から
-3(4+2)
t==
=1
2次方程式
42+2
ax²+2b'x+c=0 の重解は
ゆえに、接点の座標は、①から (-2, 0, 4)
26' b'
x=-
2a
a
練習 (1) 点 (1,1,-4) を通り, ベクトル (2, 1,3) に平行な直線ℓ と,
Ⓒ82 平面α:x+y+2z=3との交点の座標を求めよ。
(20) とする。点(0,0,0)を通り, ベクトル (1,-1, k) に平行な直
が点(5
【1.
508
x=-3+t, y=-1+t, z=ht ( t は実数)
演習
(1)
(2)
X
