写真の緑の矢印のところはなぜそのように変形するのですか？

のときの 10&at -1}ド (+) □[S] (+) この等式を (A) とする。 OTLE n=1のとき 左辺=1+1=2, 右辺 =21.1=2 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つ,すなわち (k+1)(k+2)(k+3)........ (2k) = 2.1.3.5········(2k-1) よって、n= [1], [2] から, ついて (A) が成 (3)この不等式を [1] n=1のと ( 左辺 = 1 阪ので 101 よって, n= [2]=kのと が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの (A)の左辺はったときの余りは12の +1)) _(k+2)(k+3)(k+4)••••••••(2k) (2k+1)={2(k+1)} =(k+1)(k+2)(k+3)････････ (2k) x2(2k+1) =21-3.5••••••••(2k-1)×22k+1) [1] = 2 +1.1.3.5(2k+1) - D OR 立つ。 (A)が 12+22+32 ち 2k+1) きの =2+1.1.3.5........(2(k+1)−1} よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が 成り立つ。 =39+9+2k+3) +2のとき が成り立つと n=k+1の {(k+1)+1 3 (k+2)3 >3 3k2+9k+ [I] CU St すなわち3 すなわち 91= [1] 歌 よって, n= 94 (1) この不等式を (A)とする。帯不 [1] n=1のとき 左辺 =5'5, 右辺 =4・1=4 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち S 5k >4k が成り立つと仮定する。 nk+1のときの (A) の両辺の差を考えると 5k+1-4(k+1)=5.5-(4k+4) 5.Ak-(4k+4) 12+22+... [1],[2] から, 成り立つ。 95 (1) 12n3+3 とする。 [1] n=1のと 2-1

c1=1はどう求めますか？

35. 数列{an} を an= = "x"e dr (n=0,1,2,･･･)で定める.このとき (1) An+1 と an の関係式を求めよ。 (2) 自然数nに対して, an=bne+cm となる整数 bn, Cnがあることを数学的 帰納法を用いて証明せよ . lim bm= n→∞ Cn を示せ. e (新潟大)

一番について -π/4＜θ/ 〜 （省略）と書かれているのはKが1より大きい数だからですか？

8 数列の極限 / 漸化式 とするとき,次の条件によって定められる数列{a}がある。 A 1+an a1=cos 2' an+1= 2 (n=1, 2, 3,.....) ( (1) an=cOS が成り立つことを示せ. (S) 2n 0 0 0 0 0 (2) 2”×sin- Xcos Xcos × cos X･･････ XcOS = sin(n=1, 2, 3, .....) 2" 2 122 23 2n が成り立つことを証明せよ. .... (3) bm=axaz X as X Xan (n=1,2,3,......) とおく. 0≠0のとき, limb を0を用いて 87U 表せ. (新潟大, 医歯) 半角の公式を連想する 本間は三角関数がらみである. そこで与えられた漸化式を三角関数の公式 1+cos と関連させて眺めよう. すると, COS 2 の公式を連想するのは難しくはないだろう. 2 解答 (1) 数学的帰納法で示す. n=1のとき成り立つ. n=kで成り立つとすると, (1) 11/10(1+cosa)=cos2 cos²* 2 x2=|X|に注意して√を外 = ak+1= 11/1/(1+(n)=1/2(1 0 1+cOS = Cos 2. 2k 2k+1 π 0 π 0 4 2k+1 であるから, cos ->0 .. ak+1=COS 4 2k+1 2k+1 す。 よって, n=k+1でも成り立つから,数学的帰納法により証明された. (9 示すこと

赤線部のように式を変形できるのはなぜですか？🙏🙇🏻‍♀️

次の漸化式により定義される数列{a}がある。 α=1, an+1= an 1+an (1)az, a, a を求めよ. (2) 一般項 αを求めよ. 青講 どんな複雑な漸化式でも、最初の数項を書き並べてみることで、 般項が 「推測できる」ことがあります。 ただ、それがすべての自然 nで成り立つかどうかはきちんと証明する必要があります。 そこで役に立つ -が,数学的帰納法です。 数学的帰納法は, 漸化式と非常に相性がいいのです. 解答 商品 ■ 漸化式を用いると (分母・分子に2をかける (分母・分子に3をかける a1 1 1 12 1 1 3 1_1 a2= a3= 1+a₁ 1+1 2' a= 1 2+1 3 1 3+1 4 1+ 1+ 2 (1)より, an= n ･･････(*)であることが推測できる. すべての自然数nで(*) が成り立つことを数学的帰納法で示す. (I) a=1= より, n=1のとき(*)は成り立つ. (II) n=kのとき(*) が成り立つと仮定する.すなわち aki ･･････ ①成り立つとしてよい式 仮定 k このとき,(*)で n=k+1 とおいた式 1 ak+1= k+1 が成り立つことを示す.漸化式より ② 【示すべき式 結論 ak k 1 _ 1 = ak+1 ak+1 1+k k+1 +1 k 分母分子にんをかける より,②はせたここで①を使う 1), (II)より, すべての自然数nで (*)は成り立つ。よってam= n 第7章

赤丸?のところ教えてください。

解答 基本 75 第n次導関数を求める (1) を自然数とする。 (1) y=sin 2x のとき, y''") =2"sin (2x+ nπ であることを証明せよ。 重要 2 (2) y=x" の第n 次導関数を求めよ。 /p.129 基本事項 1 重要 76, p.135 参考事 関数 計 yla は、yの第n次導関数のことである。そして、自然数nについての問題です。 から自然数nの問題 数学的帰納法で証明 の方針で進める。 (2)では,n=1,2,3の場合を調べてy(n) を 推測し、数学的帰納法で証明する。 注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学 B) [1] n=1のとき成り立つことを示す。 [2] n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことを示す。 (1)y(n=2"sin(2x+ 22 が成り 指針 Sin nπ 2 ① とする。 (+1)=cos 2x sin(2x+/-) であるから,①は成り立つ。 解答 [1] n=1のとき y'=2cos2x=2sin [2]n=k のとき,① が成り立つと仮定するとy=2* sin(2x+k) n=k+1のときを考えると,②の両辺をxで微分して d axy/tl=2 cos(2x+ RT ごは 他に yy(k+1)=2k+1sin(2x+ RT π + 2 2 =2+1sin{2x+(k+1)x} よって、n=k+1のときも①は成り立つ。 ・次導関数]×[2]から、すべての自然数nについて ①は成り立つ。 (2) n=1,2,3のとき,順に められていy=x=1,y=(x)"=(2x)'=2・1, y=(x")"=3(x2)"=32-1 (2)はい したがって,y(n)=n! ① と推測できる。 n=1のとき y=1! であるから, ①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 求めるから) y(k)=k! すなわち dk x=k! dxk え、とりあえず y(k+1)= =k+1のときを考えると, y=xk+1で, (xk+1)=(k+1)xk であるから dk dk dr (dxx+1)= {(k+1)x*} =(k+1) dk dxk dxkx=(k+1)k!=(k+1)! よって, n=k+1のときも ①は成り立つ。 [1], [2] から すべての自然数nについて①は成り立ち y(n)=n! 75 (1) y=logx 練習 n を自然数とする。 次の関数の第 n次導関数を求めよ。 (2) y=cosr

3枚目のまるで囲ったところがどうして変わるのか教えて欲しいです

() 336 3本の直線 2x+3y=6n (nは自然数), x = 0, および y=0 で囲まれる 三角形の周および内部にあるすべての格子点の総数を求めよ。 なお, 格子点と は x 座標およびy座標が整数である点のことである。 337 数列{a}が次のように帰納的に定められている。 2an [19 埼玉大 (nが奇数のとき) AS (n=1 2 2

矢印の所の変形がわかりません。 解説お願いします💦は

13 8点(部分点あり) すべての自然数nについて, 33-2"は25の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明 せよ。 「33"-2"は25の倍数である」 を･･･① とする。 [1]n=1のとき, 33×121=25 よって, n=1のとき①は成り立つ。 [2]n=kのとき ①が成り立つと仮定すると 33k-2k=25m (mは整数)... ②とおける。 n=k+1のときを考えると ②から 33(k+1)2k+1=33.3k-2.2k =27(25m+2k)-2.2k =25(27m+2k) 27m+2 は整数であるから, 33(k+1)2k+1は25の倍数である。 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2]から すべての自然数nについて①は成り立つ。

数学　帰納法 この矢印を引いた先の下線部分の式はどのようにして出したのでしょうか

[1] n=1のとき (左辺)=1.1!=1, (右辺)=(1+1)!-1=1 よって、①は成り立つ。 n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 1.1!+2・2! + •••••••k!=(k+1)!-1 n=k+1のときを考えると,②から 1・1! +2・2! + ...... +kk!+(k+1)(k+1)! 2(k+1)!-1+(k+1) ・(k+1)! =(k+2)(k+1)!-1=(k+2)!-1 ={(k+1)+1}!-1 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 ② [1] [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 E の

数学的帰納法の計算がわかりません

せよ。 4x=-2 □(105-1)が成り立つとすると 2 +1)=110F-1)+10k =6/110-1+9.10) (101) い 1= € (A) (187 4x-2 0 =0 → x= かくて(A)は成り立つ n+5) 8016 22

印の変形の仕方を教えてください。

(2) [1] n=1のとき (左辺)=1 (右)=110-1)=1ek よって, ①は成り立つ。 [2]n=kのとき,①が成り立つ, すなわち 1+10+10°+101=1/10 (10^-1) と仮定する。 n=k+1のとき,①の左辺について考えると 1+10+102+......+10k-1+10% =1/12 (10-1)+10=1/12 (10^-1+10 =/12 1/10 (10-10-1)=1/12 (1011) よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は 成り立つ。