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基本例題 104 an+1 = pan+g 型の漸化式
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
α=4, an+1=2an-1
CHART
OLUTION
漸化式 an+1= pan+g (p=1, g≠0)
特性方程式 α= pa+α の利用
50100000
......!
JOITUIO
p.494 基本事項 1,2,基本100
2 階差数列の利用 ・・・・・・
① について
an+1=pan+q (p=1, g≠0)の形の漸化式から一般項を求めるには,
か.44 の基本事項2 で紹介した, 特性方程式を利用する方法が有効である。
an+1=2an-1...... ① において, an+1, an の代
②に
解答)
an+1=2an-1 を変形すると
an+1-1=2(an-1)
ここで, bn=an−1 とおくと
an+1=2an-1
a=2α-1
an+1-α=2(a₂-α)
わりにαとおいた方程式 α=2α-1 ......
対して, ①-② を計算すると
an+1-α=2(an-α)
そこで,数列{an-α}(数列{an}の各項からαを引いた数を頂とする数列)を
考えると,公比2の等比数列であるから,まず,この数列{an}の一般項を
求める。
②について (別解 参照)
an+1=pan+α
an+2=pan+1+g
④-③ から an+2an+1=p(an+1-α) が得られる。
-)
③ において,nの代わりにn+1 とおくと
bn+1=26n, b1=α1-1=4-1=3
数列{bn}は,初項3, 公比2の等比数列であるから
bn=3.2n-1
bn=an+1- an とするとbn+1=0となり、数列{an}の階差数列{bn}は等比
数列となる。
(E-ON
1,2とも等比数列の形が導かれ, 一般項を求めることができる。
←の方針。
別角
(
α=2α-1 の解は
q=1
なお、この特性方程式
を解く過程は、解答に書
かなくてよい。
よって
an=bn+1=3・2-1+1
[inf.慣れてきたら,以下のように bn とおき換えず, an-α のまま考えるとよい。
an+1=2an-1 を変形すると an+1-1=2(an-1)
また
α-1=4-1=3
よって, 数列{an-1}は,初項3,公比2の等比数列であるから
an-1=3.2n-1
(6)
20
ゆえに an=3.2n-1+1
R
